PAU Matemàtiques aplicades a les ciències socials 2024 · Juny · Sèrie 1 · Exercici 1

Qüestions Suma de notes parcials Responeu a QUATRE de les sis qüestions següents. En les respostes, expliqueu sempre què voleu fer i per què. Cada qüestió val 2,5 punts. Podeu utilitzar calculadora, però no es permet l’ús de calculadores o altres aparells que poden emmagatzemar dades o que poden transmetre o rebre informació. Podeu utilitzar les pàgines en blanc (pàgines 14 i 15) per a fer esquemes, esborranys, etc., o per a acabar de respondre a alguna qüestió si necessiteu més espai. En aquest últim cas, cal que ho indiqueu clarament al final de la pàgina de la qüestió corresponent. 1. Dues companyies de taxi, A i B, ofereixen tarifes diferents. La companyia A ofereix un cost fix de 20 € més 0,4 € per kilòmetre recorregut, mentre que el preu de la companyia B segueix la funció g(x) = 0,01x2 + 0,1x + 10, en què x representa el nombre de kilòmetres recorreguts. a) Quina de les dues companyies ofereix la tarifa més econòmica si fem un recorregut de 10 km? I si en fem un de 80 km? Calculeu la diferència de preu en cada cas. Hi ha cap cost fix en la tarifa de la companyia B només pel sol fet de pujar al taxi? [1 punt] b) Determineu per a quin nombre de kilòmetres recorreguts les dues tarifes coincidei- xen. Si considerem només els trajectes inferiors a aquesta quantitat, per a quin nom- bre de kilòmetres la diferència de preu entre una tarifa i l’altra és màxima? Quina és aquesta diferència màxima de preu? [1,5 punts]

1. a) La tarifa de la companyia A segueix la funció 𝑓(𝑥) = 0,4𝑥+ 20. Mentre que la tarifa de la companyia B és 𝑔(𝑥) = 0,01𝑥2 + 0,1𝑥+ 10. Per trobar el preu de les tarifes si fem un recorregut de 10 o de 80 km, només hem de substituir: 𝑔(10) = 12. 𝑓(10) = 24, Per tant, si fem un recorregut de 10 km la tarifa de la companyia A ens surt 12 euros més cara que la de la companyia B. D’altra banda, 𝑔(80) = 82. 𝑓(80) = 52, En aquest cas la tarifa de la companyia A és 30 euros més econòmica que la tarifa de la companyia B. Si substituïm 𝑥= 0 a la tarifa de la companyia B, observem que 𝑔(0) = 10, per tant, efectivament hi ha un cost fix de 10 euros només pel sol fet de pujar al taxi. b) Per trobar el valor per al qual les dues tarifes coincideixen, hem de resoldre l’equació: 0,4𝑥+ 20 = 0,01𝑥2 + 0,1𝑥+ 10 𝑥2 −30𝑥−1000 = 0 que té per solucions 𝑥= 50 i 𝑥= −20. Descartem la segona solució perquè no té sentit en el context del problema i obtenim que per a una distància de 𝑥= 50 km les dues tarifes coi […]