PAU Matemàtiques aplicades a les ciències socials 2024 · Juny · Sèrie 1 · Exercici 4

4. Diem que una matriu és màgica si la suma dels elements de cada fila i de cada columna té com a resultat en tots els casos el mateix valor, que s’anomena constant màgica. El Martí ha trobat una manera de crear matrius màgiques triant tres nombres qualsse- vol i multiplicant-los per les matrius següents: , i . El Martí proposa als seus amics que cadascú construeixi la seva matriu màgica parti- cular a partir del dia del seu aniversari, del mes del seu aniversari i de la seva edat. a) Sabent que el Martí va néixer el 10 de març i que té 18 anys, calculeu 10 · A + 3 · B + 18 · C. Comproveu que la matriu resultant és màgica i indiqueu quina és la seva constant màgica (el valor comú de la suma de les files i les columnes). [1,25 punts] b) El Martí ha calculat la matriu màgica del seu pare, que fa l’aniversari el 8 de setembre, i ha obtingut que la seva constant màgica és 153. Quina edat té el pare del Martí? [1,25 punts]

4. Comencem calculant el producte que ens demanen 10 · 𝐴+ 3 · 𝐵+ 18 · 𝐶 1 −1 0 0 −1 1 0 3 0 = 10 · ( ) + 3 · ( ) + 18 · ( ) −1 0 1 1 0 −1 1 1 1 0 1 −1 −1 1 0 2 −1 2 10 41 3 ). = ( 11 18 25 33 −5 26 Comprovem que efectivament la matriu és màgica: 10 + 41 + 3 = 54, 11 + 18 + 25 = 54, 33 −5 + 26 = 54, 10 + 11 + 33 = 54, 41 + 18 −5 = 54 i 3 + 25 + 26 = 54. La constant màgica del Martí és 54. b) Ara sabem que el pare del Martí va néixer el 8 de setembre però no sabem quina edat té, que anomenarem 𝑥. Si calculem la seva matriu màgica obtenim 1 −1 0 0 −1 1 0 3 0 8 · 𝐴+ 9 · 𝐵+ 𝑥· 𝐶= 8 · ( −1 0 1 ) + 9 · ( 1 0 −1 ) + 𝑥· ( 1 1 1 ) 0 1 −1 −1 1 0 2 −1 2 8 −17 + 3𝑥 9 ). = ( 1 + 𝑥 𝑥 −1 + 𝑥 −9 + 2𝑥 17 −𝑥 −8 + 2𝑥 Sabem que la suma de qualsevol fila o columna ha de sumar 153. A partir, per exemple, de la primera fila, obtenim que 8 −17 + 3𝑥+ 9 = 153 i, per tant, obtenim que 𝑥= 51. Així doncs, el pare del Martí té 51 anys. a) Càlcul de 10 · 𝐴+ 3 · 𝐵+ 18 · 𝐶: 0,5 punts. Comprovació que la matriu obtingud […]