PAU Matemàtiques aplicades a les ciències socials 2022 · Juny · Sèrie 5 · Exercici 2

2. Una capsa conté 40 monedes, que són de 50 cèntims, d’1 € i de 2 €. Sabem que el nombre de monedes de 50 cèntims que hi ha és el doble que el de monedes de 2 €. a) Podem saber el nombre de monedes que hi ha de cada tipus? En cas afirmatiu, cal­ culeu-lo. En cas negatiu, doneu la solució en funció d’un paràmetre. [1,25 punts] b) Esbrineu si es pot calcular el valor total, en euros, de les monedes de la capsa. En cas afirmatiu, calculeu-lo. [1,25 punts]

Anomenem 𝑥, 𝑦, 𝑧 la quantitat de monedes que hi ha a la caixa de cinquanta cèntims, d’un euro i de dos euros, respectivament. Plantegem el sistema d’equacions lineals que es desprèn de modelitzar el que diu l’enunciat: {𝑥+ 𝑦+ 𝑧 = 40 2𝑧 𝑥 = Aquest sistema d’equacions lineals és compatible indeterminat amb solucions: 𝑥= 2𝑧 𝑦= 40 −3𝑧 𝑧 paràmetre El sistema és indeterminat i, per tant, no es pot determinar la quantitat exacta de monedes que hi ha de cada tipus. b) [1,25 punts] El valor total de les monedes de la caixa és 0,5𝑥+ 𝑦+ 2𝑧. Si substituïm pels valors que hem trobat a l’apartat anterior tenim 0,5 · 2𝑧+ (40 −3𝑧) + 2𝑧= 40 euros. a) Obtenció del sistema: 0,5 p. Resolució i justificació de que és un sistema indeterminat: 0,75 p. b) Plantejament: 0,5 p. Obtenció del valor total: 0,75 p.