PAU Matemàtiques aplicades a les ciències socials 2022 · Juny · Sèrie 5 · Exercici 1

Qüestions Suma de notes parcials Responeu a QUATRE de les sis qüestions següents. En les respostes, expliqueu sempre què voleu fer i per què. Cada qüestió val 2,5 punts. Podeu utilitzar calculadora, però no es permet l’ús de calculadores o altres aparells que poden emmagatzemar dades o que poden transmetre o rebre informació. Podeu utilitzar les pàgines en blanc (pàgines 14 i 15) per a fer esquemes, esborranys, etc., o per a acabar de respondre a alguna qüestió si necessiteu més espai. En aquest últim cas, cal que ho indiqueu clarament al final de la pàgina de la qüestió corresponent. 1. El valor d’un producte electrònic, en funció del nombre de mesos que fa que està a la venda, t, és donat per la funció f (t) = –(t + 25)(t – 75). a) Trobeu els intervals de creixement i decreixement de la funció f (t). En quin moment el producte assolirà el valor màxim? Quin és aquest valor màxim? [1,25 punts] b) Sabem que el producte es deixarà de comercialitzar quan arribi a un valor de 475 €. En quin moment es deixarà de comercialitzar? [1,25 punts]

1. a) [1,25 punts] Si realitzem el producte de la funció obtenim que 𝑓(𝑡) = −𝑡2 + 50𝑡+ 1875. Calculem la primera derivada 𝑓′(𝑡) = −2𝑡+ 50. Si igualem la primera derivada a 0 obtenim que hi ha un possible extrem relatiu en 𝑡= 25. Observem que la derivada 𝑓′(𝑡) és positiva per valors de 𝑡 inferiors a 𝑡= 25 i és negativa per valors de 𝑡 més grans. Per tant 𝑓(𝑡) creix a l’interval (−∞, 25) i decreix a l’interval (25, +∞). Això vol dir que en 𝑡= 25 té un màxim relatiu i el seu valor és 𝑓(25) = 2.500. Al cap de 25 mesos assoleix el seu valor màxim i aquest valor és de 2.500 euros. b) [1,25 punts] Per trobar l’instant 𝑡 en el que el producte val 475 euros hem de resoldre l’equació 𝑓(𝑡) = 475 . Obtenim −𝑡2 + 50𝑡+ 1.875 = 475, és a dir, −𝑡2 + 50𝑡+ 1.400 = 0. Si resolem aquesta equació de segon grau obtenim 𝑡= −20, que no té sentit en el nostre context i 𝑡= 70. Per tant es deixarà de comercialitzar al cap de 70 mesos. Obtenció del punt on s’assoleix el màxim: 0,25 p. Justificació de que es tract […]