PAU Matemàtiques aplicades a les ciències socials 2022 · Juny · Sèrie 5 · Exercici 3

3. Calculeu la matriu X que verifica A · X · B = C, sabent que , , i . [2,5 punts]

[2,5 punts] Considerem la igualtat (1 0 1) · (𝑎 𝑏 𝑐) · ( 1 −3) = (−1 2 −2 −8). 1 −1 −3 Fent el primer producte de matrius tenim (𝑎 𝑏+ 𝑐) · ( 1 𝑏 −3) = (−1 2 −2 −8). 𝑎 −1 −3 Si ara realitzem el segon producte obtenim 2𝑎−3𝑏−3𝑐) = (−1 −2 𝑎−𝑏 2𝑎−3𝑏 −8). ( 𝑎−𝑏−𝑐 −3 Hem de resoldre, per tant, el sistema 𝑎−𝑏= −1 2𝑎−3𝑏= −2 { 𝑎−𝑏−𝑐= −3 2𝑎−3𝑏−3𝑐= −8 Si el resolem per el mètode de Gauss tenim 1 −1 0 −1 1 −1 0 −1 1 −1 0 −1 1 −1 0 −1 2 −3 0 −2 0 −1 0 0 0 −1 0 0 0 −1 0 0 ) ( | ) ~ ( | ) ~ ( | ) ~ ( | 1 −1 −1 −3 0 0 −1 −2 0 0 −1 −2 0 0 −1 −2 2 −3 −3 −8 0 −1 −3 −6 0 0 −3 −6 0 0 0 0 Obtenim per tant la solució 𝑐= 2, 𝑏= 0 i 𝑎= −1. Per tant, la matriu que buscàvem és 𝑋= (−1 0 2). productes de matrius. 0,5 punts cadascun. Plantejament del sistema d’equacions: 0,5 punts. Resolució del sistema d’equacions: 0,5 punts.