PAU Matemàtiques aplicades a les ciències socials 2022 · Juny · Sèrie 5 · Exercici 5

5. Una fàbrica de vehicles produeix cotxes d’un model anomenat Paradís i els ven a 58.000 €. Sabem que els costos mensuals de producció són donats per la funció (en milers d’euros), en què x denota el nombre de cotxes que es fabriquen mensualment. a) Suposant que es venen tots els cotxes que es fabriquen, verifiqueu que la funció de beneficis és (en milers d’euros). [0,75 punts] b) Determineu el nombre de cotxes que cal fabricar mensualment per a no tenir pèrdues. Per a quin nombre d’unitats produïdes s’obté el benefici màxim i quin és aquest bene­ fici màxim? [1 punt] c) Es vol augmentar el preu de venda per unitat, de manera que el benefici màxim s’obtingui amb 130 unitats (la funció que dona el cost mensual en milers d’euros no varia). Quin ha de ser el nou preu de venda del cotxe? [0,75 punts]

Els ingressos venen donats per la funció 𝐼(𝑥) = 58 𝑥 (en milers d’euros). Per tant la funció que dona els beneficis mensuals en funció de les unitats produïdes serà: 2 𝑥2 − 64𝑥+ 4.704 )= − 1 2 𝑥2 + 122 𝑥−4.704. 𝐵(𝑥) = 𝐼(𝑥) −𝐶(𝑥) = 58 𝑥−( b) [1 punt] 2 𝑥2 + 122 𝑥−4.704 = 0 determinem que la funció 𝐵(𝑥) és Resolent l’equació − positiva, i per tant l’empresa no tindrà pèrdues, quan el nombre d’unitats produïdes estigui dins l’interval [48,196]. Ara hem de trobar el màxim de 𝐵(𝑥), que és un polinomi i per tant una funció contínua i derivable a tot el seu domini [0, ∞). Derivant obtenim 𝐵′(𝑥) = −𝑥+ 122, i igualant la derivada a zero s’obté com a solució 𝑥= 122. Podem comprovar fàcilment que és un màxim absolut ja que 𝐵′(𝑥) > 0 quan 𝑥∈[0,122) i 𝐵′(𝑥) < 0 quan 𝑥> 122. En el punt on s’assoleix el màxim el benefici obtingut és de 𝐵(122) = 2.738 milers d’euros. c) [0,75 punts] Denotem per 𝑎 el nou preu de venta en milers d’euros. La nova funció de beneficis serà 2 𝑥2 − 64𝑥+ 4.704 )= − 1 2 𝑥2 + ( […]