PAU Matemàtiques aplicades a les ciències socials 2022 · Juny · Sèrie 5 · Exercici 4

4. Un hotel admet reserves per a les 420 habitacions dobles de què disposa i ofereix dues tarifes diferents: la tarifa estàndard (sense despeses de canceŀlació) és de 120 € per nit, i la tarifa reduïda (que no admet canceŀlacions) és de 90 € per nit. Els interessa tenir reser­ vat almenys un 20 % del total d’habitacions amb la tarifa reduïda i volen que el nombre d’habitacions reservades amb la tarifa estàndard sigui igual o superior que el doble del nombre d’habitacions reservades amb la tarifa reduïda. a) Determineu la funció objectiu i les restriccions. Dibuixeu la regió factible. [1,25 punts] b) Determineu quantes habitacions han de tenir reservades amb cada tarifa per a obtenir el benefici màxim. Quin és aquest benefici màxim? [1,25 punts]

Denotem per 𝑥 el nombre d’habitacions reservades amb la tarifa estàndard i per 𝑦 el nombre d’habitacions reservades amb la tarifa reduïda. El sistema d’inequacions donat per les restriccions és 𝑥≥0 𝑦≥84 { 𝑥+ 𝑦≤420 𝑥≥2𝑦 La funció objectiu és 𝐹(𝑥, 𝑦) = 120𝑥+ 90𝑦 i la regió factible serà: b) [1,25 punts] Els vèrtexs de la regió factible són 𝐴= (280,140), 𝐵= (336,84) i 𝐶= (168,84). Avaluant la funció objectiu als tres vèrtexs s’obté 𝐹(𝐴) = 46.200, 𝐹(𝐵) = 47.880 𝑖 𝐹(𝐶) = 27.720. Deduïm, per tant, que el benefici màxim s’obté reservant 336 habitacions a la tarifa estàndard i 84 a la reduïda i aquest benefici és de 47.880 euros. p. Obtenció de la funció objectiu: 0,25 p. b) Obtenció dels vèrtexs: 0,75 p. Obtenció del punt en què s'assoleix el màxim: 0,25 p. Obtenció del benefici màxim: 0,25 p.