PAU Matemàtiques aplicades a les ciències socials 2021 · Juny · Sèrie 2 · Exercici 3

3. En una festa familiar s’han reunit 20 persones. Si comptem el total d’homes i dones junts, observem que n’hi ha el triple que de nens. A més, sabem que, si hi hagués assistit una dona més, el nombre de dones hauria estat igual que el nombre d’homes. a) Plantegeu un sistema d’equacions per a esbrinar quants homes, quantes dones i quants nens van assistir a la festa. [0,75 punts] b) Resoleu el sistema de l’apartat anterior i interpreteu-ne el resultat. [1,75 punts]

a) Denotarem per 𝑥, 𝑦 i 𝑧 el nombre d’homes, dones i nens, respectivament, que han assistit a la festa. Obtenim el sistema d’equacions següent: 𝑥+ 𝑦+ 𝑧= 20 𝑥+ 𝑦+ 𝑧= 20 { 𝑥+ 𝑦= 3𝑧 𝑥+ 𝑦−3𝑧= 0 → { 𝑦+ 1 = 𝑥 𝑥−𝑦= 1 b) El resolem mitjançant el mètode de Gauss: 1 1 1 20 1 1 1 20 1 1 1 20 ) ( ) ~ ( ) ~ ( 1 1 −3 | 0 0 0 4 | 20 0 2 1 | 19 1 −1 0 1 0 2 1 19 0 0 1 5 Els canvis que hem aplicat en el primer pas han estat (𝐹1, 𝐹2, 𝐹3) →(𝐹1, 𝐹1 − 𝐹2 𝐹2, 𝐹1 −𝐹3). Mentre que en el segon pas hem fet (𝐹1, 𝐹2, 𝐹3) →(𝐹1, 𝐹3, 4 ). Deduïm, per tant, que 𝑧= 5, 2𝑦= 19 −5, és a dir, 𝑦= 7 i, finalment, 𝑥= 20 −5 −7, és a dir, 𝑥= 8. Per tant, han assistit a la festa 8 homes, 7 dones i 5 nens. sistema: 1 p. Obtenció de la solució final: 0,75 p.