PAU Matemàtiques aplicades a les ciències socials 2021 · Juny · Sèrie 2 · Exercici 2

2. En una pastisseria volen preparar capsetes de panellets per a obsequiar els millors clients durant la setmana de la Castanyada. En total, disposen de 120 panellets de pinyons i de 150 panellets de coco. Volen preparar capsetes de dos tipus: les del primer tipus contin­ dran 3 panellets de pinyons i 2 de coco, i les del segon tipus contindran 4 panellets de pinyons i 6 de coco. La idea de la pastisseria és preparar el nombre màxim de capsetes possible amb els panellets de què disposen tenint en compte que, com a mínim, han de preparar 9 capsetes de cada tipus. a) Determineu la funció objectiu i les restriccions. Dibuixeu la regió factible. [1,25 punts] b) Determineu quantes capsetes cal preparar de cada tipus per a fer el màxim nombre d’obsequis possible. Indiqueu si, en aquest cas, s’utilitzaran tots els panellets disponi­ bles i, si no és així, quants en sobraran de cada tipus. [1,25 punts]

a) Denotem per 𝑥 el nombre de capsetes del primer tipus, i per 𝑦, el nombre de capsetes del segon tipus. El sistema d’inequacions donat per les restriccions és: 𝑥≥9 𝑦≥9 { 3 𝑥+ 4 𝑦≤120 2 𝑥+ 6 𝑦≤150 Podem simplificar una mica el sistema i treballar amb el sistema següent: 𝑥≥9 𝑦≥9 { 3 𝑥+ 4 𝑦≤120 𝑥+ 3 𝑦≤75 La funció objectiu és 𝐹(𝑥, 𝑦) = 𝑥+ 𝑦, que ens dona el nombre total de capsetes, i la volem maximitzar. La regió factible serà: b) Els vèrtexs de la regió factible són: 𝐴= (9,22), 𝐵= (12,21), 𝐶= (28,9) i 𝐷= (9,9). Avaluant la funció objectiu als quatre vèrtexs s’obté: 𝐹(𝐴) = 31, 𝐹(𝐵) = 33 , 𝐹(𝐶) = 37 𝑖 𝐹(𝐷) = 18. Deduïm, per tant, que per disposar del nombre màxim de capsetes possibles per obsequiar els clients hauran de fer-ne 28 del primer tipus i 9 del segon tipus. En aquest cas, veiem que s’utilitzen tots els panellets de pinyons, ja que 3 · 28 + 4 · 9 = 120. Dels panellets de coco, en canvi, en fem servir 2 · 28 + 6 · 9 = 110. Per tant sobren 40 panellets de coco. Obtenció de la func […]