PAU Matemàtiques aplicades a les ciències socials 2021 · Juny · Sèrie 2 · Exercici 5

5. Considereu la matriu . a) Trobeu l’expressió general de An. Demostreu que la inversa de An és . [1,25 punts] b) Trobeu la matriu X que satisfà l’equació matricial A10 · X – A20 = A. [1,25 punts]

a) Comencem calculant les diferents potències de 𝐴: 𝐴2 = (1 1 1) · (1 1 1) = (1 2 1) 0 0 0 𝐴3 = (1 1 1) · (1 2 1) = (1 3 1) 0 0 0 ... Per tant, deduïm que: 𝐴𝑛= (1 1 1) · (1 𝑛−1 ) = (1 𝑛 1). 0 0 1 0 D’altra banda, per comprovar si la matriu de l’enunciat és la inversa de la matriu 𝐴𝑛, multipliquem les dues matrius per veure si obtenim la matriu identitat: 𝐴𝑛· (1 −𝑛 1 ) = (1 𝑛 1) · (1 −𝑛 1 ) = (1 0 1). 0 0 0 0 Per tant, efectivament, es tracta de la matriu inversa de 𝐴𝑛. b) Per resoldre l’equació matricial, comencem aïllant la matriu 𝑋 respectant les normes del producte de matrius: 𝐴10𝑋−𝐴20 = 𝐴⟹𝐴10𝑋= 𝐴+ 𝐴20 ⟹𝑋= (𝐴10)−1(𝐴+ 𝐴20). Utilitzant el que hem vist a l’apartat anterior, tenim, per tant, que: 𝑋= (1 −10 1 ) · ((1 1 1) + (1 20 1 )) = (1 −10 1 ) · (2 21 2 ) = (2 1 2). 0 0 0 0 0 0 tracta de la matriu inversa de 𝐴𝑛: 0,5 p. b) Aïllar l’equació matricial: 0,5 p. Càlculs dels productes de matrius: 0,5 p. Obtenció de la solució final: 0,25 p.