PAU Matemàtiques aplicades a les ciències socials 2021 · Juny · Sèrie 2 · Exercici 4

4. Un granger vol construir un corral rectangular per als seus conills. Sabem que només disposa de 40 m lineals de tanca metàŀlica. a) Anomenem x l’amplària del corral i y la seva llargària. Escriviu la funció que permet calcular l’àrea del corral tenint en compte només l’amplària x. [1,25 punts] b) Calculeu en quin punt assoleix el seu màxim la funció que heu trobat a l’apartat ante­ rior. Deduïu quina ha de ser l’amplària x i quina la llargària y perquè el corral tingui l’àrea màxima. Quina serà aquesta àrea màxima? [1,25 punts]

a) L’àrea del corral serà donada per l’expressió 𝐴(𝑥, 𝑦) = 𝑥· 𝑦. Com que el perímetre està fixat i és de 40 metres, tenim que 2𝑥+ 2𝑦= 40 . Aïllant d’aquesta expressió la variable 𝑦, obtenim que 𝑦= 20 −𝑥, i substituint aquesta expressió en la funció àrea 𝐴, tenim que: 𝐴(𝑥) = 𝑥(20 −𝑥) = 20𝑥−𝑥2 b) Com que volem trobar un màxim de la funció 𝐴(𝑥), derivarem la funció 𝐴(𝑥) i la igualarem a 0. 20 2 x . 𝐴’(𝑥) = Imposem 𝐴’(𝑥) = 0 i obtenim 𝑥= 10 metres. Observem que es tracta d’un màxim perquè la derivada és positiva per a valors inferiors a 10 i és negativa per a valors superiors. Per tant, l’amplària del corral d’àrea màxima és de 𝑥= 10 metres. Sabem que la llargària ve donada per l’expressió 𝑦= 20 −𝑥. Substituint la 𝑥 per 10, obtenim que 𝑦= 10 metres. Deduïm, per tant, que en realitat es tracta d’un quadrat de costat 𝑥= 10 metres i tindrà per àrea 𝐴(10) = 100 𝑚2. Obtenció de l’àrea en funció de 𝑥: 0,75 p. b) Càlcul de la derivada: 0,25 p. Càlcul del valor pel qual s’obté el màxim: 0,25 p. C […]