PAU Matemàtiques aplicades a les ciències socials 2021 · Juny · Sèrie 2 · Exercici 6

6. Considereu la funció real de variable real f(x) = 4x3 + ax2 – 2. a) Determineu el valor del paràmetre real a per tal que la funció tingui un extrem relatiu en el punt d’abscissa x = –1. [1,25 punts] b) Calculeu els intervals de creixement i decreixement de la funció f(x) quan a = 12. Indiqueu també els punts en què hi ha extrems relatius i classifiqueu-los. [1,25 punts] 2021 Proves d’accés a la universitat Matemàtiques aplicades a les ciències socials

a) Comencem calculant la derivada 𝑓′(𝑥) = 12𝑥2 + 2𝑎𝑥. Si en el punt d’abscissa 𝑥= −1 hi ha un extrem relatiu, sabem que la derivada en aquest punt ha de ser zero. Per tant 𝑓′(−1) = 12(−1)2 + 2𝑎(−1) = 0 → 12 −2𝑎= 0 → 𝑎= 6. Per tant, obtenim que el paràmetre 𝑎= 6. b) Tenim ara 𝑓(𝑥) = 4𝑥3 + 12𝑥2 −2. Comencem calculant la derivada: 𝑓’(𝑥) = 12𝑥2 + 24𝑥= 12𝑥(𝑥+ 2). Si la igualem a zero obtenim dues solucions 𝑥= −2 i 𝑥= 0. Per tant, tenim que: (−∞, −2) −2 (−2, 0) 0 (0, +∞) 𝑓′(𝑥) + 0 - 0 + 𝑓(𝑥) funció màxim funció mínim funció creixent decreixent creixent Observem que 𝑓(−2) = 14 i 𝑓(0) = −2. Així doncs, la funció és creixent en els intervals (−∞, −2) ∪(0, +∞) i és decreixent en l’interval (−2,0). D’altra banda, té un màxim relatiu en el punt (−2, 14) i un mínim relatiu en el punt (0, −2). haver errors de càlcul: 0,5 p. Càlculs: 0,5 p. Obtenció de la solució: 0,25 p. b) Càlcul de la derivada: 0,25 p. Càlcul dels intervals de creixement i decreixement: 0,5 p. Obtenció dels extrems relatius i clas […]