PAU Matemàtiques aplicades a les ciències socials 2021 · Juny · Sèrie 2 · Exercici 1

Qüestions Suma de notes parcials Responeu a QUATRE de les sis qüestions següents. En les respostes, expliqueu sempre què voleu fer i per què. Cada qüestió val 2,5 punts. Podeu utilitzar calculadora, però no es permet l’ús de calculadores o altres aparells que poden emmagatzemar dades o que poden transmetre o rebre informació. Podeu utilitzar les pàgines en blanc (pàgines 14 i 15) per a fer esquemes, esborranys, etc., o per a acabar de respondre a alguna qüestió si necessiteu més espai. En aquest últim cas, cal que ho indiqueu clarament al final de la pàgina de la qüestió corresponent. 1. Una fàbrica estima que el benefici mensual, en milers d’euros, per cada tona de confeti venuda és donat per la funció , en què x representa el nombre de tones de confeti venudes. a) Determineu en quin interval de valors s’ha de trobar la variable x perquè la fàbrica no tingui pèrdues. [1,25 punts] b) Calculeu la quantitat de tones de confeti que proporciona el benefici màxim i digueu quin és aquest benefici. [1,25 punts]

a) Volem resoldre la inequació 𝑓(𝑥) ≥ 0. Resolem primer l’equació 𝑓(𝑥) = 0. Obtenim: 𝑥= −5 ± √52 −4(−0,2)(−20) = −5 ± 3 −0,4 = { 𝑥= 5 𝑥= 20 2(−0,2) Per la naturalesa del problema, la funció només té sentit per a valors de 𝑥> 0 (no està definida per a 𝑥= 0), i observem que els valors per als quals 𝑓(𝑥) ≥0 , i en què, per tant, la fàbrica no té pèrdues, són els de l’interval [5, 20]. b) Comencem calculant la derivada de 𝑓(𝑥): 𝑓’(𝑥) = (−0,4𝑥+ 5) · 𝑥−(−0,2 𝑥2 + 5𝑥 – 20) = −0,2𝑥2 + 20 𝑥2 𝑥2 Si imposem que 𝑓’(𝑥) = 0, obtenim que 𝑥2 = 100, que té per solucions 𝑥= 10 i 𝑥= −10. Per la naturalesa del nostre problema, només té sentit el valor 𝑥 = 10. Per tant, en el punt d’abscissa 𝑥 = 10 hi ha un extrem relatiu de la funció. A l’interval (5, 10) la funció és creixent perquè 𝑓’(𝑥) és positiva, mentre que a l’interval (10, 20) és decreixent perquè la derivada és negativa. Per tant en 𝑥 = 10 hi ha un màxim. Per a 𝑥 = 10 la funció pren el valor 𝑓(10) = 1. Per tant, per a 𝑥 = 10 s’obté el benefici mà […]