PAU Matemàtiques aplicades a les ciències socials 2021 · Setembre · Sèrie 1 · Exercici 3

3. Un restaurant que acaba d’obrir vol posar anuncis a la ràdio i a la televisió locals durant una setmana per a donar-se a conèixer i augmentar així el nombre de clients. Té un pres­ supost màxim de 18.000 euros. Cada anunci a la ràdio costa 1.000 euros i el contracte preveu que com a mínim cal fer-ne 3. Cada anunci a la televisió costa 3.000 euros i, per disponibilitat de programació, se’n poden fer com a màxim 4. S’estima que cada anunci a la ràdio suposa un increment de 10 clients per al restaurant i que cada anunci a la tele­ visió suposa un increment de 60 clients. a) Determineu la funció objectiu i les restriccions. Dibuixeu la regió factible. [1,25 punts] b) Calculeu quants anuncis haurà de posar a la ràdio i quants a la televisió perquè el nombre de clients nous sigui màxim. Quants clients nous obtindrà? [1,25 punts]

a) Si anomenem 𝑥 el nombre d’anuncis a la ràdio i 𝑦 el nombre d’anuncis a la televisió tenim les inequacions següents. 1.000𝑥+ 3.000𝑦 ≤18.000 𝑥+ 3𝑦 ≤18 𝑥≥3 𝑥≥3 } → } 0 ≤𝑦≤4 0 ≤𝑦≤4 La regió factible és La funció objectiu que ens dona el nombre de clients nous és 𝐹(𝑥, 𝑦) = 10𝑥 + 60𝑦. b) Si avaluem la funció en els vèrtex de la regió factible tenim 𝐹(3, 0) = 10 · 3 + 60 · 0 = 30 𝐹(18, 0) = 10 · 18 + 60 · 0 = 180 𝐹(3, 4) = 10 · 3 + 60 · 4 = 270 𝐹(6, 4) = 10 · 6 + 60 · 4 = 300 Si es fan 6 anuncis a la ràdio i 4 a la televisió s’obtindran 300 clients nous que correspon al nombre màxim de clients que es pot obtenir amb aquestes restriccions. p. Obtenció de la funció objectiu: 0,25 p. b) Obtenció dels vèrtexs: 0,5 p. Obtenció del punt en què s'assoleix el màxim: 0,5 p. Obtenció del benefici màxim: 0,25 p.