PAU Matemàtiques aplicades a les ciències socials 2021 · Setembre · Sèrie 1 · Exercici 1

Qüestions Suma de notes parcials Responeu a QUATRE de les sis qüestions següents. En les respostes, expliqueu sempre què voleu fer i per què. Cada qüestió val 2,5 punts. Podeu utilitzar calculadora, però no es permet l’ús de calculadores o altres aparells que poden emmagatzemar dades o que poden transmetre o rebre informació. Podeu utilitzar les pàgines en blanc (pàgines 14 i 15) per a fer esquemes, esborranys, etc., o per a acabar de respondre a alguna qüestió si necessiteu més espai. En aquest últim cas, cal que ho indiqueu clarament al final de la pàgina de la qüestió corresponent. 1. La taula següent mostra els ingressos, en milers d’euros, d’una botiga que disposa de tres locals, durant els mesos de gener, febrer i març de 2020. Gener Febrer Març Local 1 13,5 13,2 4,2 Local 2 11 12,5 3,8 Local 3 15 14 2,7 Hem recollit la informació anterior en la matriu A, en què cada fila indica un local i cada columna el mes corresponent: . a) Considereu els vectors v = (1  1  1) i . Feu les operacions v · A i A · w. Interpreteu en cada cas el resultat obtingut. [1,25 punts] b) La matriu B recull els resultats del trimestre següent, és a dir, els ingressos correspo­ nents als mesos d’abril, maig i juny de 2020: . Desconeixem la dada corresponent al mes de juny del local 3, que hem denominat x, però sabem que el rang de la matriu B és 2. Trobeu el valor de x. [1,25 punts]

1. a) Fem el producte de 𝑣· 𝐴. 13,5 13,2 4,2 10,7) 𝑣· 𝐴= (1 1) · ( 11 12,5 3,8 ) = (39,5 39,7 15 14 2,7 El vector resultant correspon als ingressos totals en milers d’euros del conjunt dels tres locals en els mesos de gener, febrer i març de 2020 respectivament. D’altra banda, 13,5 13,2 4,2 30,9 ) 𝐴· 𝑤= ( 11 12,5 3,8 ) · ( ) = ( 27,3 15 14 2,7 31,7 i en cada fila hi ha els ingressos totals durant els 3 mesos de cada un dels locals, en milers d’euros. b) Per calcular el rang de la matriu B diagonalitzarem seguint el mètode de Gauss. En el primer pas substituïm la fila 2, F2, per F2-F1, on F1 denota la fila 1, i la fila 3, F3, per F3-2·F1. En el segon pas substituïm F3 per F3+F2. 2 6 4 2 6 4 2 6 4 ) ( 2 7 5 ) ~ ( 0 1 1 ) ~ ( 0 1 1 4 11 𝑥 0 −1 𝑥−8 0 0 𝑥−7 Per tant, perquè la matriu 𝐵 tingui rang 2 cal que 𝑥= 7. resultat: 0,75 p. b) Si es fa algun procediment per intentar validar que el rang de la matriu és 2: 0,5 p. Càlculs 0,5 p. Obtenció del resulta final: 0,25 p.