PAU Matemàtiques aplicades a les ciències socials 2021 · Setembre · Sèrie 1 · Exercici 4

4. La funció , en què t són els anys transcorreguts i C(t) la quantitat de clients, expressada en milers, modelitza l’evolució d’una empresa que ha entrat en crisi. a) Calculeu quants clients tenia l’empresa en el moment inicial i quants en tenia al cap d’un any. [0,5 punts] b) Trobeu l’instant en què l’empresa deixa de perdre clients i calculeu quants clients té en aquell instant. [1 punt] c) Calculeu quant temps haurà de passar perquè l’empresa aconsegueixi tenir de nou el mateix nombre de clients que en el moment d’iniciar l’estudi. [1 punt]

4. 1 14 a) En el moment inicial tenia 𝐶(0) = 3 − 5 = 2,8 milers de clients. Al cap d’un 5 = 1 5 any tindrà 𝐶(1) = 3 − 2 = 2,5 milers de clients. 1−4+5 = b) Observem que la funció 𝐶(𝑡) està definida per tot valor real 𝑡 (ja que el denominador 𝑡2 −4𝑡+ 5 no s’anul·la mai) i que, per la naturalesa del problema, té sentit per a tot 𝑡≥0. Calculem la derivada : 2𝑡−4 2𝑡−4 𝐶′(𝑡) = (𝑡2−4𝑡+5)2 . Si igualem la derivada a zero, (𝑡2−4𝑡+5)2 = 0, obtenim que 𝑡 = 2, que correspon a l’instant en el qual hi ha una quantitat de clients de 4−8+5 = 2 milers. 𝐶(2) = 3 − És fàcil veure què aquest valor correspon a un mínim observant que la derivada canvia de signe en 𝑡 = 2, passant de negativa a positiva. Per tant, desprès de 2 anys l’empresa tindrà 2.000 clients i començarà a remuntar. c) Hem de resoldre l’equació 𝑡2 −4𝑡+ 5 = 14 3 − Tenim que 1 𝑡2−4𝑡+5, per tant, 𝑡2 −4𝑡+ 5 = 5, i simplificant obtenim 𝑡2 −4𝑡= 0, d’on 5 = obtenim les solucions 𝑡 = 0 que correspon a l’instant en què s’inicia l’estudi i 𝑡 = 4 qu […]