PAU Matemàtiques aplicades a les ciències socials 2021 · Setembre · Sèrie 1 · Exercici 6

6. Considereu la funció f (x) = px3 – 4x2 + 7px – 18. a) Calculeu quin ha de ser el valor del paràmetre p perquè les rectes tangents a la corba en els punts d’abscisses x = 1 i x = 3 siguin paraŀleles. [1,25 punts] b) Escriviu l’equació de la recta tangent al punt d’abscissa x = 3 per al valor de p = 2. [1,25 punts]

a) Calculem la funció derivada: 𝑓′(𝑥) = 3𝑝𝑥2 −8 𝑥 + 7𝑝. Perquè les rectes siguin paral·leles cal que tinguin el mateix pendent. D’una banda, el pendent de la recta tangent en el punt d’abscissa 𝑥= 1 és 𝑓’(1) = 3𝑝−8 + 7𝑝= 10𝑝−8. D’altra banda, el pendent de la recta tangent en el punt d’abscissa 𝑥= 3 és 𝑓’(3) = 27𝑝−24 + 7𝑝= 34𝑝−24. Si igualem les expressions dels dos pendents obtenim 10𝑝−8 = 34𝑝−24 i obtenim que, perquè siguin iguals, cal que 𝑝= 3 . b) L’equació tangent és de la forma: 𝑦−𝑦𝑜= 𝑚(𝑥−𝑥𝑜) L’ordenada corresponent al punt d’abscissa 𝑥0 = 3 és 𝑦0 = 𝑓(3) = 2 · 33 −4 · 32 + 7 · 2 · 3 −18 = 42 El pendent ve donat per 𝑚= 𝑓’(3) = 3 · 2 · 32 −8 · 3 + 7 · 2 = 44 I, per tant, l’equació de la recta tangent que busquem és 𝑦−42 = 44(𝑥−3), és a dir, 𝑦= 44𝑥−90. cadascun. Plantejament de la igualtat de pendents: 0,25 p. Obtenció del valor de 𝑝: 0,25 p. b) Plantejament de la recta tangent: 0,25 p. Càlcul de l’ordenada: 0,25 p. Càlcul del pendent: 0,25 p. Obtenció de la recta tangent: 0,5 p.