PAU Matemàtiques aplicades a les ciències socials 2021 · Setembre · Sèrie 1 · Exercici 5

5. Una empresa posa a la venda un producte que distribueix en caixes. El benefici B obtingut per l’empresa, expressat en milers d’euros, és donat per l’expressió B(x) = –x2 + 16x – 55, en què x > 0 és el preu de venda de cada caixa, expressat en euros. a) Quin benefici obtindrà si el preu de venda de cada caixa és de 6 euros? Entre quins valors cal fixar el preu de venda d’una caixa per a obtenir beneficis? [1,25 punts] b) A quin preu ha de vendre cada caixa perquè el benefici sigui el més gran possible? Quin és aquest benefici màxim? [1,25 punts]

a) El benefici obtingut si les caixes es venen a 6 euros és de 𝐵(6) = −62 + 16 · 6 − 55 = −36 + 96 −55 = 5 milers d’euros. Els valors per als quals hi haurà beneficis són els valors de 𝑥 per als quals 𝐵(𝑥) > 0. Hem de resoldre, per tant, la inequació −𝑥2 + 16𝑥−55 > 0. −16±√162−4·55 Comencem resolent l’equació −𝑥2 + 16𝑥−55 = 0. 𝑥= 16±6 2 . Que = −2 té per solucions 𝑥= 11 i 𝑥= 5. Observem que 𝐵(𝑥) > 0 si 𝑥∈(5,11). Per tant, per què l’empresa tingui beneficis, cal que el preu de la caixa estigui entre 5 i 11 euros. b) Si derivem la funció obtenim 𝐵’(𝑥) = −2𝑥+ 16. Igualant a zero obtenim que hi ha un extrem relatiu en 𝑥= 8. Es tracta d’un màxim perquè la derivada és positiva per a valors de 𝑥< 8 i, per tant, la funció és creixent, mentre que és negativa per a valors de 𝑥> 8 i, per tant, la funció és decreixent. Per tant, l’empresa obté el benefici màxim si ven cada caixa a 8 euros i el benefici que obté és de 𝐵(8) = −82 + 16 · 8 −55 = 9 milers d’euros. inequació perquè hi hagi beneficis: 0 […]