PAU Matemàtiques aplicades a les ciències socials 2021 · Juny · Sèrie 5 · Exercici 2

2. Per tal de vendre un excés de producció de 100 banyadors i 200 parells de xancletes, una botiga de roba de platja prepara dues promocions: l’oferta blava i l’oferta groga. L’oferta blava consisteix en un lot amb tres parells de xancletes i un banyador per 50 €, i l’oferta groga, en un lot amb un parell de xancletes i dos banyadors per 30 €. Per a complir els propòsits de la botiga, caldria que el nombre de lots venuts de l’oferta blava fos la meitat o més que el nombre de lots venuts de l’oferta groga. a) Determineu la funció objectiu i les restriccions, i dibuixeu la regió de les possibles opcions de venda que té la botiga. [1,25 punts] b) Quants lots de cada tipus s’hauran de vendre per a optimitzar els ingressos? Quins seran aquests ingressos? [1,25 punts]

2. a) Considerem 𝑥 = lots venuts de l'oferta Blava i 𝑦 = lots venuts de l'oferta Groga. Tenim les següents restriccions: 3𝑥+ 𝑦≤200 𝑥+ 2𝑦≤100 𝑥≥(1 2)𝑦 𝑥≥0 { 𝑦≥0 Finalment, la funció objectiu és 𝐼𝑛𝑔𝑟𝑒𝑠𝑠𝑜𝑠(𝑥, 𝑦) = 50𝑥+ 30𝑦. b) 200 Els vèrtexs de la regió factible són (0,0), (20,40), (60,20) i ( 3 , 0). Per veure quan obtenim els ingressos màxims calculem el valor de la funció objectiu en els vèrtexs: 𝐼𝑛𝑔𝑟𝑒𝑠𝑠𝑜𝑠((0,0)) = 0 €, 𝐼𝑛𝑔𝑟𝑒𝑠𝑠𝑜𝑠((20,40)) = 50 · 20 + 30 · 40 = 2.200 € , 𝐼𝑛𝑔𝑟𝑒𝑠𝑠𝑜𝑠((60,20)) = 50 · 60 + 30 · 20 = 3.600 € , 𝐼𝑛𝑔𝑟𝑒𝑠𝑠𝑜𝑠((200/3,0)) = 50 · 200/3 + 30 · 0 = 3.333′33 € . Per tant caldrà vendre 60 lots de l’oferta Blava i 20 de l’oferta Groga i s'obtindrà uns ingressos màxims de 3.600 euros. Obtenció de la funció objectiu: 0,25 p. b) Obtenció dels vèrtexs: 0,5 p. Obtenció del punt pel que s'assoleix el màxim: 0,25 p. Obtenció del benefici màxim: 0,5 p.