PAU Matemàtiques aplicades a les ciències socials 2010 · Juny · Sèrie 5 · Exercici 3

3. Un concessionari de motos comercialitza dos models, un de 125 cc i un altre de 50 cc. Per cada moto de 125 cc que ven, guanya 1000 € i per cada moto de 50 cc, guanya 600 €. D’altra banda, per tal de satisfer els objectius marcats pel fabricant, cal que el concessionari compleixi les condicions següents: a) Vendre entre 50 i 150 motos de 125 cc. b) Vendre almenys tantes motos de 50 cc com de 125 cc. c) No vendre més de 500 motos de 50 cc. Determineu quantes motos de cada tipus ha de vendre el concessionari per a obtenir el màxim benefici, i calculeu aquest benefici màxim. [2 punts]

Suposarem que el concessionari ven x motos de 50 cc. i y motos de 125 = + cc. Aleshores els guanys del concessionari seran de G(x,y) 600x 1000y , i les restriccions de l’enunciat es tradueixen com: ≥ ⎫ y 50 ⎪ ≤ y 150 ⎪⎬ . ≥ x y ⎪ ⎪ ≤ x 500 ⎭ La representació gràfica de la regió factible és: = = Tindrem, doncs, G(150,150) 240.000 , G(500,150) 450.000 , = = G(500,50) 350.000 , G(50,50) 80.000 . Per tant, els màxims guanys es produiran quan venen 500 motos de 50 cc. i 150 motos de 125 cc.