PAU Matemàtiques aplicades a les ciències socials 2025 · Juny · Sèrie 1 · Exercici 4 (Opció B)

Exercici 4 Al Congrés Català d’Educació Matemàtica (C2EM), que se celebrarà a Lleida el proper mes de juliol, hi assistiran docents d’universitat, d’educació secundària i d’educació infantil i primària. A hores d’ara, un 10 % dels docents inscrits són d’universitat, un 50 % són de secundària i la resta són d’infantil i primària. D’altra banda, un 40 % dels docents inscrits d’universitat, un 52 % dels docents inscrits de secundària i un 65 % dels docents inscrits d’infantil i primària són dones. Trieu UNA de les dues opcions (A o B) i responeu a les qüestions que s’hi plantegen. OPCIÓ B a) L’organització del Congrés vol donar un detall diferent a cada grup de docents: el detall de tipus D1 per al grup de docents universitaris, el detall de tipus D2 per al grup de docents de secundària i el detall de tipus D3 per al grup de docents d’in- fantil i primària. Han demanat pressupost a tres empreses diferents, que anomenarem E1, E2 i E3. La matriu següent ens dona els preus unitaris, en euros, de cada detall de tipus D1, D2 i D3 (files) segons les empreses E1, E2 i E3 (columnes): La comanda de l’organització es pot representar com un vector fila (x, y, z), en què x representa la quantitat de detalls de tipus D1, y és la quantitat de detalls de tipus D2 i z correspon a la quantitat de detalls de tipus D3 que cal comprar. L’organització treballa amb la previsió que al Congrés hi assistiran 1.000 persones en total i que els percentatges de cada grup de docents respecte al total seran els matei- xos que els que hi ha en aquest moment de la inscripció. Calculeu mitjançant un producte de matrius quina empresa ofereix el millor preu i quin és aquest preu. [1,25 punts] b) Un hotel situat prop de l’espai on se celebrarà el Congrés ha fet un estudi de mercat. Inicialment es plantejaven oferir l’habitació doble a un preu de 80 € la nit i amb aquest preu estimaven que tindrien 100 reserves d’habitacions dobles. Però l’estudi mostra que la relació entre el preu de l’habitació doble i el nombre de reserves és lineal, de manera que per cada euro de descompte sobre el preu de l’habitació aconsegueixen dues reserves més. Si anomenem x el nombre de vegades que s’aplica el descompte d’un euro, escriviu la funció que dona els ingressos de l’hotel en funció de x. Quin ha de ser el preu de l’habitació doble per a maximitzar els ingressos? [1,25 punts]