PAU Matemàtiques aplicades a les ciències socials 2023 · Setembre · Sèrie 2 · Exercici 5

5. Considereu la matriu , en què a és un paràmetre real. a) Si anomenem I la matriu identitat d’ordre 2, trobeu el valor de a per al qual A2 = I. [1 punt] b) Per a a = –1, calculeu A2, A3 i A4. Feu servir els càlculs anteriors per a deduir el valor de A–1 i de A23. [1,5 punts]

a) Fem el producte de la matriu 𝐴 per ella mateixa i igualem el resultat a la matriu identitat: 𝐴2 = (1 −1) ·(1 𝑎 −1) = (1 + 2𝑎 𝑎 2𝑎+ 1) = (1 0 0 1) 2 2 0 0 Observem que cal que 1 + 2𝑎= 1 i per tant 𝑎= 0. b) Per a 𝑎= −1 fem els càlculs que ens demanen: 𝐴2 = (1 −1 −1) ·(1 −1 −1) = (−1 0 −1) = −𝐼. 2 2 0 𝐴3 = 𝐴2 · 𝐴 = − 𝐼 · 𝐴= −𝐴 𝐴4 = 𝐴3 · 𝐴= −𝐴· 𝐴= −𝐴2 = − (−𝐼) = 𝐼. Per tant, d’aquesta última igualtat deduïm que 𝐴−1 = 𝐴3 = −𝐴. D’altra banda, 𝐴23 = 𝐴20 · 𝐴3 = (𝐴4)5 · 𝐴3 = 𝐼· 𝐴3 = 𝐴3 = −𝐴. a) Càlcul 𝐴2: 0,5 punts. Trobar el valor de 𝑎: 0,5 punts. b) Càlcul de 𝐴2, 𝐴3 i 𝐴4: 0,5 punts en total. Deduir el valor de 𝐴−1: 0,5 punts. Deduir el valor de 𝐴23: 0,5 punts.