PAU Matemàtiques aplicades a les ciències socials 2022 · Juny · Sèrie 2 · Exercici 5

5. Considereu les matrius i , en què a és un paràmetre real. a) Trobeu per a quins valors de a és invertible la matriu obtinguda del resultat del pro­ ducte P · A. [1,5 punts] b) Si a = 2, trobeu la matriu X que satisfà l’equació matricial P · A + X = I, en què I denota la matriu identitat d’ordre 2. [1 punt]

Calculem el producte P · A: −1 −2 𝑃· 𝐴= (0 2 −1 ) = ( −1 3 −2𝑎−1). 3 ) · ( 0 1 𝑎 2 3 −𝑎 1 −1 Sabem que una matriu quadrada és invertible si el rang de la matriu és màxim, és a dir, en aquest cas si el rang és 2. Apliquem el mètode de Gauss. Si sumem a la segona fila la primera multiplicada per (3 −𝑎), obtenim: ( −1 −2𝑎−1) ~ (−1 3 3 8 −5𝑎). 3 −𝑎 0 Per tant, el rang de la matriu serà 2 i, per tant, la matriu 𝑃· 𝐴 serà invertible sempre que 8 −5𝑎 sigui diferent de zero. Com que 5𝑎−8 = 0 → 𝑎= 8/5 Obtenim que sempre que 𝑎≠ 5 la matriu obtinguda del producte de 𝑃· 𝐴 serà invertible. b) [1 punt] Quan 𝑎= 2 tenim que 𝑃· 𝐴= (−1 3 −5). Hem de resoldre l’equació P·A+X = I. Obtenim: 𝑋= 𝐼−𝑃· 𝐴= (1 0 1) −(−1 −5) = ( 2 3 −3 6 ). 0 1 −1 matriu: 0,5 p. Obtenció del valor de a pel qual no és invertible: 0,5 p. b) Aïllar la X: 0,5 p. Càlcul de X: 0,5 p. Sabem que 𝑅𝑒= 𝑅0 · (1 −𝑝) = 15 · (1 −0,95) = 15 · 0,05 = 0,75. Com que aquest valor és inferior a 1, segons el model, no hi ha risc d’una epidèmia de xara […]