PAU Matemàtiques aplicades a les ciències socials 2020 · Setembre · Sèrie 4 · Exercici 1

Qüestions Suma de notes parcials Responeu a QUATRE de les sis qüestions següents. En les respostes, expliqueu sempre què voleu fer i per què. Cada qüestió val 2,5 punts. Podeu utilitzar calculadora, però no es permet l’ús de calculadores o altres aparells que poden emmagatzemar dades o que poden transmetre o rebre informació. Podeu utilitzar les pàgines en blanc (pàgines 14 i 15) per a fer esquemes, esborranys, etc., o per a acabar de respondre a alguna qüestió si necessiteu més espai. En aquest últim cas, cal que ho indiqueu clarament al final de la pàgina de la qüestió corresponent. 1. Considerem la matriu . Estudieu per a quins valors de x la matriu inversa de la matriu A coincideix amb la seva oposada, és a dir, A–1 = –A. [2,5 punts]

1. Considerem la matriu 𝐴= (𝑥 −2 −𝑥). Estudieu per a quins valors de 𝑥 la matriu inversa de la matriu 𝐴 coincideix amb la seva oposada, és a dir, 𝐴−1 = −𝐴. [2,5 punts] Hem de trobar els valors de 𝒙 per als quals es compleix que 𝑨−𝟏= −𝑨. D’una banda, −𝑨= (−𝒙 𝟐 𝒙). −𝟓 D’altra banda, sabem que 𝑨· 𝑨−𝟏= 𝑰, on 𝑰 és la matriu identitat d’ordre 2. Per tant, hem de trobar els valors de 𝒙 per als quals es compleix: (𝒙 −𝟐 −𝒙) · (−𝒙 𝟐 𝒙) = (𝟏 𝟎 𝟏). 𝟓 −𝟓 𝟎 Comencem fent el primer producte: 𝒙) = (−𝒙𝟐+ 𝟏𝟎 (𝒙 −𝟐 −𝒙) · (−𝒙 𝟐 𝟎 −𝒙𝟐+ 𝟏𝟎). 𝟓 −𝟓 𝟎 Com que sabem que (−𝒙𝟐+ 𝟏𝟎 −𝒙𝟐+ 𝟏𝟎) = (𝟏 𝟎 𝟏), hem de resoldre l’equació −𝒙𝟐+ 𝟏𝟎= 𝟏, que té per solucions 𝒙= −𝟑 i 𝒙= 𝟑. 0,75 p. Obtenció de l’equació: 0,5 p. Obtenció de les solucions: 0,75 p.