PAU Matemàtiques aplicades a les ciències socials 2020 · Setembre · Sèrie 4 · Exercici 6

6. La funció Q(x) = (x + 1)2 (32 – x), en què x ∈ [–1, 32], representa la producció, en quilo­ grams, d’una hortalissa en un hivernacle en funció de la temperatura x, expressada en graus centígrads (°C), que pot variar entre –1 °C i 32 °C. a) Calculeu quina és la temperatura de l’hivernacle amb la qual s’obté la màxima pro­ ducció. Quina producció d’hortalissa obtindrem a aquesta temperatura? [1,25 punts] b) Calculeu a quines temperatures s’assoleix el nivell mínim de producció i quin és aquest valor mínim. [1,25 punts]

6. La funció 𝑄(𝑥) = (𝑥+ 1)2(32 −𝑥), en què 𝑥∈[−1,32], representa la producció, en quilograms, d’una hortalissa en un hivernacle en funció de la temperatura 𝑥, expressada en graus centígrads (°C), que pot variar entre -1 °C i 32 °C. a) Calculeu quina és la temperatura de l’hivernacle amb la qual s’obté la màxima producció. Quina producció d’hortalissa obtindrem a aquesta temperatura? [1,25 punts] b) Calculeu a quines temperatures s’assoleix el nivell mínim de producció i quin és aquest valor mínim. [1,25 punts] a) Cal determinar el valor de 𝑥 per al qual la funció 𝑄(𝑥) té un màxim en l’interval [−1,32]. Observem que: 𝑄(𝑥) = (𝑥+ 1)2(32 −𝑥) = −𝑥3 + 30𝑥2 + 63𝑥 + 32 Comencem calculant la derivada: 𝑄’(𝑥) = −3𝑥2 + 60𝑥 + 63 Si igualem la derivada a zero, −3𝑥2 + 60𝑥 + 63 = 0 obtenim que la derivada s’anul·la en els punts d’abscissa 𝑥= −1 i 𝑥= 21. Per saber si en aquests punts hi ha un màxim o un mínim locals, estudiem el signe de la derivada. Observem que la derivada 𝑄’(𝑥) és negativa per a 𝑥< […]