PAU Matemàtiques aplicades a les ciències socials 2020 · Juny · Sèrie 1 · Exercici 5

5. Considereu les matrius i . a) Comproveu que es compleix que A–1 = A2. [1,25 punts] b) Resoleu l’equació matricial A · X + B = I, en què I és la matriu identitat d’ordre 2. [1,25 punts]

5. Considereu les matrius 𝑨= ( 0 −1) i 𝑩= (2 1 1 2) −1 1 a) Comprova que es compleix que 𝑨−1 = 𝑨2. [1,25 punts] b) Resoleu l’equació matricial 𝑨· 𝑿+ 𝑩= 𝑰 en què 𝑰 és la matriu identitat d’ordre 2. [1,25 punts] a) Per fer aquesta comprovació comencem calculant la matriu 𝐴2: 𝐴2 = ( 0 −1) · ( 0 1 −1) = (−1 1 −1 0 ) −1 −1 1 Per comprovar que 𝐴−1 = 𝐴2 hem de veure que 𝐴2 · 𝐴= 𝐼. Fem, doncs, el càlcul de 𝐴2 · 𝐴: 𝐴2 · 𝐴= (−1 −1 0 ) · ( 0 −1) = (1 1 0 1) = 𝐼. 1 −1 0 Com que, efectivament hem obtingut que 𝐴2 · 𝐴= I aleshores 𝐴−1 = 𝐴2. Evidentment, una altra solució correcta alternativa seria trobar 𝐴−1 i comprovar que efectivament 𝐴−1 = 𝐴2. b) Si aïllem la X respectant la no commutativitat de les matrius obtenim 𝑋= 𝐴−1 · (𝐼−𝐵). Però com què 𝐴−1 = 𝐴2 podem resoldre l’equació fent 𝑋= 𝐴−1 · (𝐼−𝐵) = 𝐴2 · (𝐼−𝐵) = (−1 −1 0 ) ((1 0 1) −(2 1 2)) = 1 0 1 = (−1 −1 0 ) (−1 −1 −1) = ( 2 2 −1). 1 −1 −1 Un altre cop tenim una solució alternativa que passaria per considerar 𝑋= (𝑎 𝑏 𝑑) i 𝑐 trobar la solució de […]