PAU Matemàtiques aplicades a les ciències socials 2020 · Setembre · Sèrie 4 · Exercici 4

4. Considerem les funcions f (x) = x2 + ax + b i g (x) = –x2 + c. a) Calculeu els valors dels paràmetres a, b i c per tal que les gràfiques de f (x) i g (x) es tallin en els punts (–1, 3) i (3, –5). [1,25 punts] b) Per a c = 4, trobeu l’equació de la recta tangent a g (x) en el punt d’abscissa x = –1. [1,25 punts]

4. Considerem les funcions 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 𝑎𝑥+ 𝑏 i 𝑔(𝑥) = −𝑥2 + 𝑐. a) Calculeu els valors dels paràmetres 𝑎, 𝑏 i 𝑐 per tal que les gràfiques de 𝑓(𝑥) i 𝑔(𝑥) es tallin en els punts (−1, 3) i (3, −5). [1,25 punts] b) Per a 𝑐 = 4, trobeu l’equació de la recta tangent a 𝑔(𝑥) en el punt d’abscissa 𝑥= −1. [1,25 punts] a) Imposem que les dues funcions passin per aquests dos punts. Cal que 𝑓(−1) = 3, 𝑓(3) = −5 i que 𝑔(−1) = 3 i 𝑔(3) = −5. De les dues igualtats primeres tenim que { 1 −𝑎+ 𝑏= 3 9 + 3𝑎+ 𝑏= −5 I, resolent el sistema, trobem que 𝑎 = −4 i 𝑏 = −2. De les igualtats de la funció 𝑔, tenim que { −1 + 𝑐= 3 −9 + 𝑐= −5 I, en ambdós casos, obtenim que 𝑐 = 4. b) Considerem ara 𝑔(𝑥) = −𝑥2 + 4. Observem que 𝑔(−1) = 3, per tant, la recta tangent a 𝑔(𝑥) en 𝑥 = −1 passa pel punt (−1,3). El pendent de la recta tangent serà 𝑚 = 𝑔 ’(−1) on 𝑔’ és la derivada de la funció 𝑔. Comencem calculant la derivada: 𝑔 ’ (𝑥) = −2𝑥 I, per tant, 𝑔 ’ (−1) = 2. Així doncs, l’equació de la recta tangent a 𝑔(𝑥) en 𝑥 = −1 és […]