PAU Matemàtiques aplicades a les ciències socials 2010 · Juny · Sèrie 4 · Exercici 5

5. Considereu les matrius següents: a) Comproveu si aquestes dues matrius compleixen (A + B)2 = A2 + 2A · B + B2. [1 punt] b) Si P i Q són matrius quadrades qualssevol d’ordre 3, quina condició s’ha de produir perquè es compleixi (P + Q)2 = P2 + 2P · Q + Q2? [1 punt]

− − − − − − ⎛ 1 2 4 ⎞ ⎛ 1 2 4 ⎞⎛ 1 2 4 ⎞ ⎛ 1 0 0 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ( ) 2 + = + = ⋅ = A B 0 3 4 ; A B 0 3 4 0 3 4 0 1 0 . ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − − − − − − 0 2 3 0 2 3 0 2 3 0 0 1 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ D’altra banda, 2 2 − − − − − − − ⎛ 2 3 5 ⎞ ⎛ 2 3 5 ⎞ ⎛ 1 1 1 ⎞ ⎛ 1 1 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2 = − = − 2 = − − = − A 1 4 5 1 4 5 ; B 1 1 1 1 1 1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − − − − − − − 1 3 4 1 3 4 1 1 1 1 1 1 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 0 0 0 ⎞ ⎜ ⎟ ⋅ = ⎜ A B 0 0 0 . Per tant. ⎟ ⎜ ⎟ 0 0 0 ⎝ ⎠ − − − − − − ⎛ 2 3 5 ⎞ ⎛ 1 1 1 ⎞ ⎛ 3 4 6 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2 + ⋅ + 2 = − + − = − A 2A B B 1 4 5 1 1 1 2 5 6 . No són ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − − − − − − 1 3 4 1 1 1 2 4 5 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ iguals. b. ( ) 2 + = + ⋅ + ⋅ + + ⋅ + 2 2 2 2 P Q P P Q Q P Q , que serà el mateix que P 2P Q Q quan es verifiqui P·Q = Q·P, és a dir, les matrius P i Q commutin.