PAU Matemàtiques aplicades a les ciències socials 2010 · Juny · Sèrie 4 · Exercici 6

6. En una explotació ramadera es declara una epidèmia, i els veterinaris preveuen que la propagació d’aquesta seguirà la funció f(x) = –2x2 + 48x + 162, en què x representa el nombre de setmanes que han transcorregut des del moment de la declaració de l’epidèmia, i f(x) indica el nombre d’animals afectats. a) Quants animals hi ha afectats en el moment de declarar-se l’epidèmia? Quantes setmanes durarà l’epidèmia fins al moment en què ja no quedi cap animal afectat? [1 punt] b) Indiqueu quin serà el nombre màxim d’animals afectats, i en quina setmana es produirà. [1 punt]

Pregunta 6 a. = f(0) 162 , = − 2 + + = − 2 − − = − − + → = 0 2x 48x 162 2(x 24x 81) 2(x 27)(x 3) x 27 . En el moment de declarar-se l’epidèmia hi havia 162 animals malalts. L’epidèmia durarà 27 setmanes. b. = − − f '(x) 2(2x 24) que s’anul·la per a x = 12. Correspon a un màxim ja que per a x < 12 la derivada és positiva, i per a x > 12 és positiva. A més, f(12)=450. Per tant, el nombre més gran d’animals afectats es donarà a la dotzena setmana, i n’hi haurà 450.