PAU Matemàtiques aplicades a les ciències socials 2025 · Setembre · Sèrie 3 · Exercici 1

Exercici 1 Un agricultor ha observat que si es planten 25 pereres per hectàrea, el rendiment és de 370 peres per arbre. A més a més, també ha comprovat que la relació entre el nombre de peres per arbre i el nombre de pereres per hectàrea és lineal, de manera que per cada arbre plantat de més per hectàrea, el rendiment disminueix en 10 peres per perera. a) Anomenem x el nombre de pereres de més que plantem, addicionals a les 25 inicials. Calculeu la funció de la producció total de peres per hectàrea P(x) en funció de x. [1 punt] b) Quin és el nombre total de pereres per hectàrea que cal plantar per a obtenir el màxim de producció per hectàrea? Quina és aquesta producció màxima? A partir de quantes pereres per hectàrea no s’obté cap producció? [1,5 punts]

1. a) Si 𝑥 és el nombre de pereres addicionals a les 25 plantades inicialment, la producció de cada una de les 25 + 𝑥 pereres serà de 370 −10𝑥 peres. La producció total serà el producte del nombre de peres per arbre pel nombre de pereres: 𝑃(𝑥) = (25 + 𝑥) · (370 −10𝑥) → 𝑃(𝑥) = −10𝑥2 + 120𝑥+ 9250. b) Per buscar el punt on s’assoleix el màxim de la funció de producció, calculem la derivada i la igualem a zero: 𝑃′(𝑥) = −20𝑥+ 120 → 𝑃′(𝑥) = 0 → 𝑥= 6 Observem que és un màxim perquè la derivada és positiva per a valors inferiors a 6 i, per tant, la funció és creixent per a 𝑥< 6, mentre que és negativa per a valors superiors a 6 i, per tant, la funció és decreixent per a 𝑥> 6. Així doncs, el nombre total de pereres que caldrà plantar per hectàrea per obtenir una producció màxima serà de 25 + 6 = 31 pereres per hectàrea. La producció màxima serà de 𝑃(6) = 31 · 310 = 9610 peres. Per saber a partir de quin valor no hi haurà cap producció cal resoldre 𝑃(𝑥) = 0 −𝑥2 + 12𝑥+ 925 = 0 →𝑥= −12 ± √122 −4 · […]