PAU Matemàtiques aplicades a les ciències socials 2023 · Juny · Sèrie 1 · Exercici 1

Qüestions Suma de notes parcials Responeu a QUATRE de les sis qüestions següents. En les respostes, expliqueu sempre què voleu fer i per què. Cada qüestió val 2,5 punts. Podeu utilitzar calculadora, però no es permet l’ús de calculadores o altres aparells que poden emmagatzemar dades o que poden transmetre o rebre informació. Podeu utilitzar les pàgines en blanc (pàgines 14 i 15) per a fer esquemes, esborranys, etc., o per a acabar de respondre a alguna qüestió si necessiteu més espai. En aquest últim cas, cal que ho indiqueu clarament al final de la pàgina de la qüestió corresponent. 1. El preu d’un vol entre Barcelona i Islàndia és de 500 €. Una companyia aèria té capacitat per a 300 passatgers diaris, però hi ha una determinada època de l’any en què només ven 180 bitllets. Després de fer un estudi de mercat, la companyia s’adona que la relació entre el preu del bitllet i el nombre de passatgers és lineal, de manera que per cada 5 € de descompte en el preu del bitllet aconsegueix dos passatgers més. a) Si anomenem x el nombre de vegades que s’aplica el descompte, escriviu la funció que dona els ingressos diaris de la companyia per la venda de bitllets en funció de x. [1 punt] b) A quin preu cal vendre cada bitllet per a obtenir el màxim d’ingressos? Quins ingres- sos s’obtindran amb aquest preu? [1,5 punts]

1. a) Sigui 𝑥, el nombre de vegades que s’aplica el descompte de 5 €. La funció que dona els ingressos per la venda de bitllets és el producte entre el preu del bitllet i el nombre de bitllets venuts: 𝐼(𝑥) = (500 −5𝑥) · (180 + 2𝑥) = −10𝑥2 + 100𝑥+ 90 000 b) Per trobar el màxim d’ingressos, derivem la funció 𝐼(𝑥): 𝐼′(𝑥) = −20𝑥+ 100. Igualem la deriva a zero i veiem que hi ha un extrem relatiu quan 𝑥= 5. Veiem que es tracta d’un màxim, perquè la derivada és positiva per a 𝑥< 5 i és negativa per a 𝑥> 5. Per tant, el preu del bitllet per maximitzar els ingressos ha de ser de 500 −5 · 5 = 475 €. I, amb aquest preu, els ingressos de la companyia per la venda de bitllets seran de 𝐼(𝑥) = 475 · 190 = 90 250 €. a) Obtenció de la funció que dona el preu del bitllet en funció de 𝑥: 0,25 punts. Obtenció de la funció que dona el nombre de passatgers en funció de 𝑥: 0,25 punts. Obtenció de la funció que dona els ingressos en funció de 𝑥: 0,5 punts. b) Càlcul de la derivada: 0,5 punts. Obtenció del pun […]