PAU Matemàtiques aplicades a les ciències socials 2022 · Setembre · Sèrie 3 · Exercici 1

Qüestions Suma de notes parcials Responeu a QUATRE de les sis qüestions següents. En les respostes, expliqueu sempre què voleu fer i per què. Cada qüestió val 2,5 punts. Podeu utilitzar calculadora, però no es permet l’ús de calculadores o altres aparells que poden emmagatzemar dades o que poden transmetre o rebre informació. Podeu utilitzar les pàgines en blanc (pàgines 14 i 15) per a fer esquemes, esborranys, etc., o per a acabar de respondre a alguna qüestió si necessiteu més espai. En aquest últim cas, cal que ho indiqueu clarament al final de la pàgina de la qüestió corresponent. 1. El cost de producció (en euros) de x unitats d’un producte determinat és donat per la funció C(x) = 0,02x2 + 3x + 100. Aquestes unitats es posen a la venda i el preu de venda unitari (en euros) depèn del nombre d’unitats produïdes x. Concretament, és donat per la funció p(x) = 47 – 0,06x. Suposem que es venen totes les unitats que es produeixen. a) Determineu la funció que dona els beneficis obtinguts en funció del nombre d’unitats produïdes x. [1,25 punts] b) Determineu quantes unitats cal produir per a obtenir el benefici màxim i digueu quin és aquest benefici. [1,25 punts]

1. a) Els beneficis són la diferència entre els ingressos obtinguts per la venda i els costos de producció, és a dir, 𝐵(𝑥) = 𝐼(𝑥) −𝐶(𝑥). Els ingressos obtinguts per la venda de 𝑥 unitats són 𝐼(𝑥) = 𝑥· 𝑝(𝑥) = 47𝑥−0,06𝑥2. Per tant: 𝐵(𝑥) = 47𝑥−0,06𝑥2 −0,02𝑥2 −3𝑥−100 = −0,08𝑥2 + 44𝑥−100 b) Per saber quantes unitats cal produir per obtenir el benefici màxim comencem calculant la derivada: 𝐵′(𝑥) = −0,16𝑥+ 44 Igualem la derivada a zero per trobar els extrems relatius: 𝐵′(𝑥) = −0,16𝑥+ 44 = 0 Així doncs, tenim un extrem relatiu per 𝑥= 275 unitats. Veiem que es tracta d’un màxim, ja que la funció de beneficis és una paràbola amb el coeficient principal negatiu. També podem argumentar-ho veient que la derivada és positiva per a valors inferiors a 275 i, per tant, la funció és creixent; mentre que és negativa per a valors superiors i, per tant, els beneficis decreixen. El benefici màxim que s’obté és: 𝐵(275) = 5.950 € 0,5 punts. Obtenció de la funció de beneficis: 0,5 punts. b) Càlcul de la deriva […]