PAU Matemàtiques aplicades a les ciències socials 2016 · Juny · Sèrie 3 · Exercici 1

1. Una fàbrica de mobles de cuina ven 1.000 unitats mensuals d’un model d’armari a 200 € per unitat. Per tal de reduir-ne l’estoc, fa una oferta als compradors i estima que, per cada euro de reducció del preu, les vendes mensuals del producte s’incrementaran en 100 unitats. a) Quantes unitats caldrà vendre per a obtenir el màxim d’ingressos mensuals? [1,5 punts] b) A quant pujaran aquests ingressos? [0,5 punts]

1. Una fàbrica de mobles de cuina ven 1000 unitats mensuals d’un model d’armari a 200 euros per unitat. Per tal de reduir-ne l’estoc, fa una oferta als compradors i estima que, per cada euro de reducció del preu, les vendes mensuals del producte s’incrementaran en 100 unitats. (a) Quantes unitats caldrà vendre per a d’obtenir el màxim d’ingressos mensuals? (1,5 punts) Si anomenem x a la reducció del preu de venda en euros, aleshores la funció que ens dóna els beneficis serà B(x) = (200 −x) · (1000 + 100x) = −100x2 + 19000x + 200000. La seva derivada és B′(x) = −200x + 19000, que val 0 quan x = 95. Com que la funció és una paràbola amb coeficient del terme quadràtic negatiu, aquest valor correspon a un màxim: els ingressos màxims s’obtindran quan es redueixi el preu en 95 euros, és a dir, quan el nombre d’unitats venudes sigui 1000 + 100 · 95 = 10500 unitats. (b) A quant pujaran aquests ingressos? (0,5 punts) La quantitat màxima ingressada serà B(95) = 1102500 euros.