PAU Matemàtiques aplicades a les ciències socials 2015 · Juny · Sèrie 2 · Exercici 1

1. Un arbre té un volum de 30 m3 i, per la qualitat de la seva fusta, es ven a 50 € per metre cúbic. Cada any l’arbre augmenta el volum en 5 m3. Alhora, la qualitat de la fusta de l’arbre disminueix, i també el preu, que cada any és un euro per metre cúbic més barat. D’aquí a quants anys aconseguirem el màxim d’ingressos per la venda de la fusta de l’arbre? Quins seran aquests ingressos? [2 punts]

1. Un arbre té un volum de 30 m3 i, per la qualitat de la seva fusta, es ven a 50 € per metre cúbic. Cada any l'arbre augmenta el volum en 5 m3. Alhora, la qualitat de la fusta disminueix, i també el preu, que cada any és un euro per metre cúbic més barat. D’aquí a quants anys aconseguirem el màxim d'ingressos per la venda de la fusta de l’arbre? Quins seran aquests ingressos? [2 punts] Anomenem x la quantitat d’anys que passen des del moment inicial. El volum de l’arbre al cap de x anys, expressat en m3, serà V(x) = 30 + 5x. El preu de la fusta de l’arbre al cap de x anys, expressat en €/m3, serà P(x) = 50 – x. L’ingrés que prové de la fusta de l’arbre al cap de x anys, expressat en euros, serà I(x) = V(x)·P(x): I(x) = (30 + 5x)(50 – x) = 1500 + 220x – 5x2 I’(x) = 220 – 10x I’(x) = 0 quan x = 22. A més, aquesta derivada és positiva quan x < 22 i negativa després. Per tant, es tracta d’un màxim. L’ingrés màxim de la fusta es donarà al cap de 22 anys. Quan això passi, aquest ingrés màxi […]