PAU Matemàtiques aplicades a les ciències socials 2013 · Juny · Sèrie 4 · Exercici 3

3. En un hort hi ha plantades 50 pomeres. Cada arbre produeix 800 pomes. Per cada arbre addicional que hi plantem, la producció de cada arbre es redueix en 10 pomes. Quants arbres més ens cal plantar per a obtenir la producció més alta possible? Quina és aquesta producció? [2 punts]

3. En un hort hi ha plantades 50 pomeres. Cada arbre produeix 800 pomes. Per cada arbre addicional que hi plantem, la producció de cada arbre es redueix en 10 pomes. Quants arbres més ens cal plantar per a obtenir la producció més alta possible? Quina és aquesta producció? [2 punts] Anomenarem x al nombre d’arbres addicionals que plantem. Aleshores, la producció en funció de x serà = + − = + − 2 P(x) (50 x)(800 10x) 40000 300x 10x . La seva derivada és = − P'(x) 300 20x , i s’anul·la a x = 15. Per a valors menors que aquest, la derivada és positiva i, per a valors més grans de 15, és positiva. Per tant, aquest valor correspon a un màxim de la funció. La producció màxima serà de 42.250 pomes.