PAU Matemàtiques aplicades a les ciències socials 2013 · Juny · Sèrie 4 · Exercici 1

1. Un equip científic ha estudiat l’evolució de la població d’una petita illa de la Polinèsia. Com a conclusió, ha determinat que, per tal d’obtenir una bona estimació de la pobla- ció, cal fer servir l’expressió , on t indica els anys transcorreguts des del principi de l’estudi. a) Determineu la població de l’illa quan va començar l’estudi, i al cap d’un any. Quina ha estat la taxa de creixement en aquest període? [1 punt] b) Al cap de quants anys després del començament de l’experiment va deixar de créi- xer la població de l’illa? Quin va ser el nombre màxim d’habitants? [1 punt]

1. Un equip científic ha estudiat l’evolució de la població d’una petita illa de la Polinèsia. Com a conclusió, ha determinat que, per tal d’obtenir una bona estimació de la població, cal fer servir l’expressió: = + − P(t) 400 18t 6t 2 on t indica els anys transcorreguts des del principi de l’estudi. Es demana: a. Determineu la població de l’illa quan va començar l’estudi, i passat un any. Quina ha estat la taxa de creixement en aquest període? [1 punt] b. Fins a quants anys després del començament de l’experiment va créixer la població de l’illa? Quin va ser el nombre màxim d’habitants? [1 punt] a. P(0) = 400, P(1) = 412. La taxa de creixement en aquest període haurà estat de 12 400 = . 3% = − b. P'(t) 18 9 t que s’anul·la quan t = 4. Per a t<4 la derivada és positiva, i per a t>4 és negativa. Per tant, es tracta d’un màxim. A més, P(4) = 424. La població va créixer durant 4 anys, i va arribar a ser de 424 habitants.