PAU Matemàtiques aplicades a les ciències socials 2012 · Setembre · Sèrie 4 · Exercici 5

Disposem de 48 cm2 de material per a fabricar una capsa de base quadrada, sense 5. tapa. Calculeu les dimensions de la capsa de volum més gran que podem construir en aquestes condicions. Quin serà el volum de la capsa? [2 punts]

5. Disposem de 48 cm2 de material per a fabricar una capsa de base quadrada, sense tapa. Calculeu les dimensions de la capsa de volum més gran que podem construir en aquestes condicions. Quin serà el volum de la capsa? [2 punts] L’àrea total de la capsa serà: 4bh b 48 + = , i el seu volum és V b h = . Aïllant h de la primera 48 b − h = equació obtenim . Per 4b tant, la funció que cal maximitzar és 48 b 1 1 − ( ) ( ) 2 3 2 V(b) b · 48b b V'(b) 48 3b = = − = − . La seva derivada és . Els 4b 4 4 seus extrems relatius són aquells valors tals que la derivada val zero: 2 2 48 3b 0 b 16 b 4 − = → = → = ± . És clar que només ens interessa la solució positiva. Per a b = 4 obtenim h = 2. A més, per a valors més petits que b = 4 la derivada és positiva i per a valors més grans és negativa. Per tant, aquest valor és un màxim; la capsa més gran tindrà base de 4 cm. de costat i de 2 cm. d’alçada. El seu volum és de 32 cm3. ⎛ ⎞ 2 1 − ⎛ 1 1 1 ⎞ ⎛ 1 2 ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ = ⎜