PAU Matemàtiques aplicades a les ciències socials 2012 · Juny · Sèrie 3 · Exercici 4

4. Un triangle té els vèrtexs O(0, 0), A(6, 0) i B(0, 3). a) Dibuixeu-lo i escriviu l’equació de la recta que conté el segment AB. [0,5 punts] b) Considerem un punt P situat sobre el segment AB, i dibuixem el rectangle que té per diagonal OP i dos costats sobre els eixos de coordenades. Determineu les coordenades de P que fan màxima l’àrea del rectangle. [1,5 punts]

4. Un triangle té vèrtexs O(0,0), A(6,0), B(0,3). a. Dibuixeu-lo i escriviu l’equació de la recta que conté el segment AB. [0,5 punts] b. Considerem un punt P situat sobre el segment AB, i dibuixem el rectangle que té diagonal OP i dos costats sobre els eixos de coordenades. Determineu les coordenades de P que fan màxima l’àrea del rectangle. [1,5 punts] y x 3 = − + a. L’equació de la recta que conté el segment AB és . El triangle, i el rectangle de què ens parlen a l’apartat b., són aquests: b. Com que el punt (x,y) es troba sobre la recta, les seves coordenades han de ser de la ⎛ ⎞ x, x 3 − + forma ⎜ ⎟ . L’àrea del rectangle és, per tant, ⎝ 2 ⎠ ⎛ 1 ⎞ 1 A(x) x x 3 x 3x = − + = − + ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ 2 A'(x) x 3 0 = −+ = quan x = 3. A més, quan x < 3 la derivada positiva i quan x > 3 és ⎛ 3 ⎞ P 3,2 negativa: x = 3 correspon a un màxim relatiu. El punt demanat és, per tant, ⎜ ⎟ . ⎝ ⎠