PAU Matemàtiques aplicades a les ciències socials 2009 · Juny · Sèrie 4 · Exercici 6

6. El preu de cost d’una unitat d’un cert producte és de 120 €. Si es ven a 150 € la uni- tat, el compren 500 clients. Per cada 10 € d’augment en el preu, les vendes dismi- nueixen en 20 clients. a) Trobeu una fórmula mitjançant la qual obtinguem els beneficis. [2 punts] b) Calculeu a quin preu p per unitat hem de vendre el producte per a obtenir un benefici màxim. [1 punt] c) En el cas anterior, trobeu el nombre d’unitats que es venen i calculeu el benefi- ci màxim. [1 punt] Proves dʼaccés a la Universitat. Curs 2008-2009 Matemàtiques aplicades a les ciències socials

6. El preu de cost d’una unitat d’un cert producte és de 120 €. Si es ven a 150 € la unitat, el compren 500 clients. Per cada 10 € d’augment en el preu, les vendes disminueixen en 20 clients. a) Trobeu una fórmula mitjançant la qual obtinguem els beneficis. [2 punts] b) Calculeu a quin preu p per unitat hem de vendre el producte per a obtenir un benefici màxim. [1 punt] c) En el cas anterior, trobeu el nombre d’unitats que es venen i calculeu el benefici màxim. [1 punt] Solució: Si es donen els beneficis en termes del preu p la solució és: a) Sigui ( ) c p el nombre de compradors en funció de p . Tindrem: c p ( ) 500 2( p 150) b p ( ) c p ( )( p 120) 2 p 1040 p 96000 = − − i = − = − + − . b) Per trobar el màxim de la paràbola fem la derivada i igualem a zero: b p '( ) 4 p 1040 , d’on resulta p = 260€ . Es tracta d’un màxim ja que "( ) b p = −. = − + c) Substituint obtenim: ( ) c p 500 2( p 150) 500 2 110 280 i el benefici és = − − = −⋅ = b (260) 39200€ . = Alternativament, es pot fer u […]