PAU Matemàtiques aplicades a les ciències socials 2009 · Juny · Sèrie 4 · Exercici 3

3. Segons un estudi sobre l’evolució de la població d’una espècie protegida determi- nada, podem establir el nombre d’individus d’aquesta espècie durant els propers anys mitjançant la funció en què t és el nombre d’anys transcorreguts. a) Calculeu la població actual i la prevista per d’aquí a nou anys. [0,5 punts] b) Determineu els períodes en què la població augmentarà i els períodes en què disminuirà. [1 punt] c) Esbrineu si, segons aquesta previsió, la població tendirà a estabilitzar-se en algun valor i, si escau, determineu-lo. [0,5 punts]

3. Segons un estudi sobre l’evolució de la població d’una espècie protegida determinada, podem establir el nombre d’individus d’aquesta espècie durant els propers anys mitjançant la funció 50 t 500 + f t ( ) = t 1 + En què t és el nombre d’anys transcorreguts. a) Calculeu la població actual i la prevista d’aquí a 9 anys. [0.5 punts] b) Determineu els períodes en què la població augmentarà i els períodes en que disminuirà. [1 punt] c) Esbrineu si, segons aquesta previsió, la població tendirà a estabilitzar-se en algun valor i, si escau, determineu-lo. [0.5 punts] Solució: f (0) 500 a) La població actual és de = individus, i la prevista per d’aquí a 9 anys és de f (9) 95 = individus. 50 t 500 450 + f t ( ) f '( ) t que és negativa per a tot t ; b) La derivada de = és = − t 1 ( t 1) 2 + + per tant la funció és decreixent i la població disminueix contínuament. c) Com que el límit de f t quan t →∞ és 50, la població tendirà a estabilitzar-se en ( ) 50 individus.