PAU Matemàtiques aplicades a les ciències socials 2009 · Juny · Sèrie 4 · Exercici 4

4. Considereu el sistema d’equacions següent: a) Digueu per a quins valors del paràmetre a el sistema és incompatible. [1 punt] b) Resoleu el sistema per al valor de a per al qual el sistema és compatible, i trobeu- ne una solució entera. [1 punt]

4. Considereu el sistema d’equacions següent: x 2 y 3 z 3 ⎫ − + = ⎪ x y 2 z 1 ⎬ −+ + = ⎪ 7 x 10 y z a − + = ⎭ a) Digueu per a quins valors del paràmetre a el sistema és incompatible. [1 punt] b) Resoleu el sistema per al valor de a per al qual el sistema és compatible i trobeu-ne una solució entera. [1 punt] Solució: Resolent per Gauss tenim: ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 2 3 | 3 1 2 3 | 3 1 2 3 | 3 − − − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 1 1 2 | 1 0 1 5 | 4 0 1 5 | 4 − → − → − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 7 10 1 | a 0 4 20 | a 21 0 0 0 | a 5 ⎝ − ⎠ ⎝ − − ⎠ ⎝ − ⎠ a ≠ 5 a) Per tant, el sistema és incompatible per . a = 5 b) Per el sistema resultant és: ⎛ ⎞ 1 2 3 | 3 − . ⎜ ⎟ 0 1 5 | 4 ⎝ − − ⎠ y 4 5 z x 3 3 z 2 y 5 7 z La solució general és = −+ , = − + = −+ . Per a qualsevol valor enter de z s’obté una solució ( , , ) x y z entera. Per exemple, per a z = obtenim la solució entera positiva: ( , , ) x y z = (2,1,1) .