PAU Matemàtiques aplicades a les ciències socials 2008 · Juny · Sèrie 5 · Exercici 4

Una fàbrica de televisors ven cada aparell a 300 €. Les despeses derivades de fabri- 4. car x televisors són D(x) = 200x + x2, en què 0 ≤x ≤80. a) Suposant que es venen tots els televisors que es fabriquen, trobeu la funció dels beneficis que s’obtenen després de fabricar i vendre x televisors. [1 punt] b) Determineu el nombre d’aparells que convé fabricar per a obtenir el benefici màxim, i també quin és aquest benefici màxim. [1 punt]

4. Una fàbrica de televisors ven cada aparell a 300 €. Les despeses de fabricar x ≤ ≤ = + 2 D x ( ) 200 x x , en què 0 x 80 televisors són . a) Suposant que es venen tots els televisors que es fabriquen, doneu la funció dels beneficis que s’obtenen després de fabricar i vendre x televisors. [1 punt] b) Determineu el nombre d’aparells que convé fabricar per obtenir el benefici màxim, i també quin és aquest benefici màxim. [1 punt] Puntuació: Apartat a) 0.5 punts; apartat b) funció beneficis 0.5 punts; benefici màxim 1 punt. Total: 2 punts. = Solució: a) Els ingressos són ( ) I x 300 x . = − + 2 = − 2 B x ( ) 300 x (200 x x ) 100 x x b) El benefici és . Per trobar el benefici màxim = − B x '( ) 100 2 x determinem la derivada i igualem a 0: . Per tant l’extrem relatiu x = 50 s’obté per . Es tracta òbviament d’un màxim ja que és una paràbola amb coeficient a negatiu (també es pot veure pel signe de la derivada segona que és = B (50) 2500 negatiu). El benefici màxim és €.