PAU Matemàtiques aplicades a les ciències socials 2025 · Juny · Sèrie 1 · Exercici 2

Exercici 2 Un inversor té uns diners invertits en un fons d’inversió molt volàtil. El valor de la seva inversió en euros durant un dia determinat és donat per la funció , en què x ∈ [0, 24] representa el temps en hores. a) Calculeu el valor inicial de la inversió en començar el dia i determineu quin benefici o pèrdua haurà tingut al cap de 24 hores. Trobeu també a quina hora del dia el valor de la inversió ha estat màxim i quin era aquest valor màxim. [1,5 punts] b) Hi ha algun moment del dia en què el valor de la inversió és negatiu? Quin és el valor mínim que assoleix? [1 punt]

2. a) En primer lloc, hem de calcular el valor de la inversió a l’inici del dia, és a dir, quan 𝑥= 0. Observem que 𝑓(0) = 250; per tant, el valor inicial és de 250 euros. Al final del dia, quan 𝑥= 24 el valor de la inversió és de 𝑓(24) = 1978 euros. Per tant, durant el dia ha tingut un benefici de 1978 −250 = 1728 euros. Per saber en quin instant del dia s’assoleix el valor màxim, comencem calculant la derivada de la funció 𝑓′(𝑥) = 𝑥2 −35𝑥+ 300 35±√25 Si igualem la derivada a zero obtenim 𝑥= ; és a dir, tenim dues solucions 𝑥= 15 i 𝑥= 20. Per veure si són màxims o mínims relatius, podem estudiar el signe de la derivada. Veiem que • 𝑓′(𝑥) > 0 per 0 ≤𝑥< 15; per tant, aquí la funció és creixent. • 𝑓′(𝑥) < 0 per 15 < 𝑥< 20; per tant, aquí la funció és decreixent. • 𝑓′(𝑥) > 0 per 20 < 𝑥≤24; per tant, aquí la funció és creixent. Obtenim, per tant, que la funció té un màxim relatiu en 𝑥= 15 i un mínim relatiu en 𝑥= 20. L’instant en què la inversió assolirà el valor màxim és el màxim absolut d […]