PAU Matemàtiques aplicades a les ciències socials 2023 · Setembre · Sèrie 2 · Exercici 2

2. Un fabricant de vehicles elèctrics ha tret al mercat un model nou amb tant d’èxit que ven tots els que fabrica. El preu de venda de cada cotxe és de 35.000 €. Fabricar un cert nombre de cotxes li suposa unes despeses de C(x) = x2 + 34.880x + 1.100 euros, en què x representa el nombre de vehicles fabricats. a) Entre quins valors ha de mantenir la producció per tal de no tenir pèrdues? [1,25 punts] b) Quants vehicles ha de fabricar per tal d’obtenir el màxim benefici? Quin valor pren aquest benefici màxim? [1,25 punts]

a) Els beneficis de l’empresa venen donats per la diferència entre els ingressos per les vendes i les despeses de producció: 𝑓(𝑥) = 35000𝑥−(𝑥2 + 34880𝑥+ 1100) = −𝑥2 + 120𝑥−1100 Per saber quan la fàbrica no té pèrdues hem de resoldre la inequació següent: −𝑥2 + 120𝑥−1100 ≥0 Comencem resolent l’equació −𝑥2 + 120𝑥−1100 = 0, que té per solucions 𝑥= 10 i 𝑥= 110. Com que es tracta d’una paràbola amb el coeficient principal negatiu, la solució de la inequació és 𝑥∈[10,110]. Per tant la producció ha d’estar entre 10 i 110 vehicles, ambdós inclosos, per tal de no tenir pèrdues. b) Per a obtenir el màxim igualem a zero la derivada de la funció que ens dona els beneficis: 𝑓′(𝑥) = −2𝑥+ 120 −2𝑥+ 120 = 0 𝑥= 60 Per tal de justificar que es tracta d’un màxim podem fer servir la taula de monotonia: [0,60) 60 (60,110] 𝑓’(𝑥) Positiu Zero Negatiu 𝑓(𝑥) Creixent Màxim Decreixent Per tant, cal fabricar 60 vehicles i el benefici obtingut serà de 𝑓(60) = 2500 euros. a) Trobar la funció que dona els beneficis: […]