PAU Matemàtiques aplicades a les ciències socials 2009 · Juny · Sèrie 3 · Exercici 3

3. L’evolució de la població d’un estat, en milions d’habitants, es pot aproximar mit- jançant la funció en què t és el temps en anys. a) Calculeu la població actual (per a t = 0). [0,5 punts] b) Determineu el límit de P(t) quan t tendeix a infinit. [0,5 punts] c) Determineu al cap de quants anys la població serà màxima i el nombre d’habi- tants que la funció prediu per a aquest màxim. [1 punt]

3. L’evolució de la població d’un estat, en milions d’habitants, es pot aproximar per la funció 20 t P t ( ) 40 = + , 4 t 2 + on és el temps en anys. a) Calculeu la població actual (per a ). [0.5 punts] b) Determineu el límit de quan tendeix a infinit. [0.5 punts] c) Determineu al cap de quants anys la població serà màxima i quants habitants prediu la funció per aquest màxim. [1 punt] Solució: a) . b) lim P t ( ) 40. = t →∞ c) Hem de determinar els extrems relatius. La funció derivada és: 2 2 20(4 t ) 20 (2 ) t t 20(4 t ) + − − P t '( ) = = . Per tant els extrems relatius s’obtenen quan 2 2 2 2 (4 t ) (4 t ) + + 4 t 2 0 , és a dir, per i per . Només ens interessa el segon on − = . Per tant es tracta d’un màxim i serà .