PAU Física 2020 · Juny · Sèrie 3 · Exercici 8

P8) Segons el model atòmic de Bohr, les òrbites que descri­ uen els electrons al voltant del nucli compleixen la relació següent: on me és la massa de l’electró, v la seva velocitat, r el radi de l’òrbita i n és un nombre enter (nombre quàntic principal). Per a l’estat fonamental, n val 1; per a la segona òrbita, n val 2, i així successivament. a) En l’hidrogen muònic, el muó substitueix l’electró. El muó és una partícula idèntica a l’electró (és un leptó com l’electró i té la mateixa càrrega), però la seva massa és unes 200 vegades la massa de l’electró. Determineu el radi de l’òrbita del muó en el seu estat fonamental (n = 1). Quin àtom ocupa un volum més gran, l’àtom d’hidrogen o l’hidrogen muònic? Justifiqueu la resposta. [1,25 punts] b) L’energia del muó en l’estat fonamental és –4,355 × 10–16 J i en la segona òrbita (n = 2) és –1,089 × 10–16 J. Quan el muó passa de la segona òrbita a l’estat fonamental emet un fotó. Quina és la freqüència i la longitud d’ona d’aquest fotó? [1,25 punts] Dades:  me = 9,11 × 10–31 kg. |e| = 1,602 × 10–19 C. h = 6,63 × 10–34 J s. c = 3,00 × 108 m s–1. .

ℎ ℎ 1 𝑚𝑚𝑟𝑚 0,2 p 𝑚𝑚𝑣𝑟𝑚= 2𝜋⇒𝑣= 2𝜋 0,25 p D'altra banda, considerant que el muó descriu un moviment circular uniforme al 𝑣2 𝑟𝑚= ( ℎ 1 3 voltant del nucli, la seva acceleració centrípeta és: 𝑎= 2𝜋) 2 𝑟𝑚 𝑚𝑚 ℎ 1 0,1 p La segona llei de Newton estableix que la força normal és: 𝐹= 𝑚𝑚𝑎= ( 3 2𝜋) 𝑚𝑚𝑟𝑚 𝑒2 0,1 p i la llei de Coulomb: 𝐹= 𝑘 2 𝑟𝑚 𝑒2 ℎ 1 0,25 p Per tant obtenim que 𝑘 3 2 = ( 2𝜋) 𝑟𝑚 𝑚𝑚𝑟𝑚 ℎ 1 𝑚𝑚𝑘𝑒2 = 2,65 × 10−13 m 0,1 p 𝑟𝑚= ( 2𝜋) 0,25 p De l’anterior expressió podem comprovar que el radi de l’orbita és inversament proporcional a la massa del leptó, per tant el radi de l’electró serà 200 vegades més gran que el radi del muó. Llavors, serà molt més gran l’hidrogen que l’hidrogen muònic. b) 0,5 p L’energia del fotó emès és igual a la energia perduda per l’electró quan salta de l’orbita de més energia a la fonamental, és a dir,: 𝐸𝑓𝑜𝑡ó = −(𝐸1 −𝐸2) = 3,266 × 10−16 J 𝑐 0,25 p Per altre banda l’energia del fotó és: 𝐸𝑓𝑜𝑡ó = ℎ𝑓=ℎ 𝜆 I finalment, 𝐸𝑓𝑜𝑡ó = 4,93 × 1017Hz 0,25 p 𝑓= ℎ 𝑐 𝑐 𝑓= 6,09 × 10− […]