PAU Física 2020 · Juny · Sèrie 3 · Exercici 3

P3) Una de les llunes de Júpiter, Io, descriu una òrbita de radi mitjà 4,22 × 108 m i de període 1,53 × 105 s. a) Calculeu la massa de Júpiter. [1,25 punts] b) Calculeu el radi mitjà de l’òrbita d’una altra lluna de Júpiter, Caŀlisto, que té un perí­ ode d’1,44 × 106 s. [1,25 punts] Dada:  G = 6,67 × 10–11 N m2 kg–2.

0,2 p Per calcular la massa de Júpiter ens cal primer la velocitat lineal o angular: 𝑣= 𝑇 o 2π 𝜔= 𝑇 2πr 2π 0,1 p 𝑣= 𝑇= 1,73 × 104 m/s o 𝜔= 𝑇= 4,11 × 10−5 rad/s . 0,1 p. La segona llei de Newton estableix que: 𝐹⃗= 𝑀𝐼𝑜𝑎⃗ Segons la llei de gravitació universal, el mòdul de la força s'expressa com: 𝑀𝐼𝑜𝑀𝐽 𝑟2 0,2 p. 𝐹= 𝐺 𝑀𝐽 Per tant obtenim que: 𝑎=G 𝑟2 0,1 p. 0,2 p. D'altra banda, considerant que Io descriu un moviment circular uniforme al voltant 𝑣2 de Júpiter, la seva acceleració centrípeta és: 𝑎= 𝑟 o 𝑎=𝜔2𝑟, I la massa de Júpiter és 𝑟·𝑣2 𝑟3·𝜔2 0,25 p. 𝐺= 1,90 × 1027 kg o 𝑀𝐽= = 1,90 × 1027 kg 0,1 p. 𝑀𝐽= 𝐺 b) 1 p De la tercera llei de Kepler: 3 = 1,88 × 109 m 0,25 p 2 2 𝑇𝐼𝑜 𝑇𝐶𝑎𝑙·𝑙𝑖𝑠𝑡𝑜 𝑇𝐶𝑎𝑙·𝑙𝑖𝑠𝑡𝑜 3 = ⟹𝑟𝐶𝑎𝑙·𝑙𝑖𝑠𝑡𝑜= 𝑟𝐼𝑜( ) 𝑟𝐼𝑜 𝑟𝐶𝑎𝑙·𝑙𝑖𝑠𝑡𝑜 𝑇𝐼𝑜 Alternativament 2π 0,1 p, La velocitat angular és: o 𝜔= 𝑇= 4,36 × 10−6 rad/s . 𝑀𝐶𝑎𝑙·𝑙𝑖𝑠𝑡𝑜𝑀𝐽 0,25 p. = 𝑀𝐶𝑎𝑙·𝑙𝑖𝑠𝑡𝑜𝜔2𝑟 𝐺 𝑟2 𝑀𝐽 0,8 p 𝑟= √𝐺 = 1,88 × 109 m 0,1 p 𝜔2