PAU Física 2025 · Juny · Sèrie 1 · Exercici 1

Exercici 1. Camps gravitatoris La brossa espacial deixada per satèŀlits antics i els seus coets llançadors s’està convertint en un perill per a altres satèŀlits. El novembre de 2023, durant unes tasques de reparació, dos astronautes es van deixar una caixa d’eines a l’exterior de l’Estació Espacial Internacional (EEI). a) A partir de la llei de gravitació universal, deduïu l’expressió de la velocitat orbital en fun- ció del radi orbital. Calculeu la velocitat de la caixa d’eines en òrbita a 400 km per sobre de la superfície terrestre i el nombre de voltes que farà la caixa cada dia al voltant de la Terra. [1,25 punts] b) La fi de l’EEI està planificada per a l’any 2031. D’una manera gradual i controlada se’n baixarà l’òrbita fins als 280 km d’altura per sobre de la superfície terrestre. Calculeu l’energia mecànica de l’EEI en aquesta òrbita i justifiqueu-ne el signe. L’última tripulació abandonarà l’estació i, posteriorment, l’estació caurà des d’aquesta altura al mig de l’oceà Pacífic. Calculeu amb quina energia cinètica impactarà l’estació contra l’aigua, sense tenir en compte els efectes de l’atmosfera terrestre. [1,25 punts] Dades: G = 6,67 × 10–11 N m2 kg–2. Massa de la Terra: M = 5,98 × 1024 kg. T Radi de la Terra: RT = 6,37 × 106 m. Massa de l’EEI: MEEI = 430 × 103 kg.

EXERCICI 1 Trobar l’expressió de la velocitat orbital 0,5 p. Segons la llei de la gravitació universal, el mòdul de la força sobre la caixa degut a l’atracció de la Terra és: 𝐹= 𝐺 𝑀𝑐𝑎𝑀𝑇 𝑟2 La segona llei de Newton estableix que: 𝐹⃗= 𝑀𝑐𝑎𝑎⃗ D’altra banda, considerant que el satèl·lit descriu un moviment circular uniforme al voltant de la Terra, la seva acceleració és l’acceleració centrípeta: 𝑎= 𝑣2/𝑟 . Com que sobre la caixa sols actua la força de la gravetat: 𝐺 𝑀𝑐𝑎𝑀𝑇 = 𝑀𝑐𝑎𝑣2/𝑟⇒𝑣= √𝐺 𝑀𝑇 𝑟 𝑟2 0,25 p. El radi 𝑟= 6,37 · 106 + 4 · 105 = 6,77 · 106 m. Utilitzant l’expressió, obtenim el valor de la velocitat orbital de la caixa: 5,98·1024 𝑀𝑇 𝑣𝑐𝑎= √𝐺 6,77·106 = 7,68 · 103 m/s r = √6,67 · 10−11 0,5 p El nombre de voltes al voltant de la Terra que fa la caixa durant un dia. Hem de comparar els dos temps. 2𝜋 6,77·106 2𝜋𝑟 El període de la caixa: 𝑇= = 5,54 · 103 s. 𝑣= 7,68·103 3600 s I un dia amb segons: 𝑡𝑑𝑖𝑎= 24 h = 86,4 · 103 𝑠. 1h 86,4·103 𝑡𝑑𝑖𝑎 I el nombre de voltes : 𝑛𝑣𝑜𝑙𝑡𝑒𝑠/𝑑𝑖𝑎= 5,54·103 = 15,6 […]