PAU Física 2023 · Juny · Sèrie 1 · Exercici 1

P1) Els dos satèŀlits de Mart, Fobos i Deimos, porten el nom dels fills bessons d’Afrodita i Ares. En la mitologia romana, Ares, déu de la guerra, s’identifica amb Mart. Els dos satèŀlits tenen forma irregular, però els podem aproximar a una esfera de diàmetre 22,2 km per a Fobos i de 12,6 km per a Deimos. Per tant, comparats amb la Lluna, que té un diàmetre de 3 475 km, són petits. El radi orbital mitjà (distància entre els centres dels dos objectes) de Fobos al voltant de Mart és de 9 377 km i el seu període de revo- lució és de 7 hores, 39 minuts i 14 segons. Sabent que el radi orbital mitjà de Deimos és de 23 460 km, determineu a partir d’aquestes dades: a) La massa de Mart i la intensitat del camp gravitatori que Mart crea a la seva super- fície. [1,25 punts] b) El període de revolució de Deimos al voltant de Mart i la seva energia mecànica. [1,25 punts] Dades: G = 6,67 × 10–11 N m2 kg–2. MFobos = 1,10 × 1016 kg. MDeimos = 2,00 × 1015 kg. RMart = 3 390 km. Nota: Considereu que els dos satèŀlits descriuen una trajectòria circular al voltant de Mart.

0,1 p. a) El període en unitats del SI s’expressa així: 𝑇= 7 h 3600 s + 39 min 60 s 1 min + 14 s = 27554 s 1 h La velocitat angular orbital de Fobos és: 𝜔= 2𝜋 2𝜋 27554 = 2,28 × 10−4 rad/s 𝑇= 0,2 p. Segons la llei de la gravitació universal, el mòdul de la força sobre Fobos degut a l’atracció de Mart és: 𝐹= 𝐺 𝑀𝐹𝑀𝑀 𝑟2 0,1 p. I la segona llei de Newton estableix que: 𝐹⃗= 𝑚𝑎⃗ 0,2 p. D’altra banda, considerant que Fobos descriu un moviment circular uniforme al voltant de Mart, la seva acceleració centrípeta és: 𝑎= 𝜔2𝑟 0,2 p. Com que sobre Fobos només actua la força de la gravetat: = 𝑀𝐹𝜔2𝑟⇒𝑀𝑀= 𝜔2𝑟3 = (2,28 × 10−4)2(9,377 × 106)3 𝐺 𝑀𝐹𝑀𝑀 = 6,43 × 1023 kg 𝑟2 6,67 × 10−11 𝐺 0,2 p. Segons la llei de gravitació universal, el mòdul de la força sobre un objecte de massa m a la superfície de Mart s’expressa així: 𝐹= 𝐺 𝑚𝑀𝑀 𝑅𝑀 0,1 p. I el mòdul de la força que experimenta un objecte de massa m sota l’acció d’un camp gravitatori d’intensitat g és: 𝐹= 𝑚𝑔 Igualant les dues expressions i dividint els dos c […]