PAU Física 2019 · Juny · Sèrie 4 · Exercici 2 (Part comuna)

P2) Determinar la massa i les posicions dels cossos celestes va ser, sens dubte, un gran repte per als pri­ mers astrònoms. Gràcies a les valuoses dades sobre les posicions dels astres que Tycho Brahe va recollir al llarg de la seva vida, Johannes Kepler va poder formular les seves famoses tres lleis. a) Deduïu la tercera llei de Kepler a partir de la segona llei de Newton i de la llei de la gravitació universal, suposant que els planetes descriuen Kepler (esquerra) i Brahe (dreta) moviments circulars uniformes al voltant del Sol. [1 punt] b) Determineu la massa del Sol emprant les dades que necessiteu de la taula següent: Planeta Radi de l’òrbita (m) Període (anys) Mercuri 57,90 × 109 0,2408 Venus 108,2 × 109 0,6152 Terra 149,6 × 109 1,000 Mart 228,0 × 109 1,881 [1 punt] Dada:  G = 6,67 × 10–11 N m2 kg–2.

P2) a) La segona llei de Newton estableix que: 𝐹= 𝑚𝑎 0,2 p. 𝑚𝑀 Segons la llei de gravitació universal, el mòdul de la força és: 𝐹= 𝐺 𝑟2 0,2 p 𝑀 Per tant obtenim que: 𝑎= 𝐺 𝑟2 0,1 p D'altra banda, considerant que els planetes descriuen moviments circulars uniformes, la seva velocitat es pot expressar com el perímetre de l'òrbita dividit 2𝜋𝑟 pel període: 𝑣= 𝑇 0,1 p i tenint en compte que en aquest cas l'acceleració 𝑣2 4𝜋2𝑟 𝑟 0,1 p, obtenim que: 𝑎= 𝑇2 0,1 p. centrípeta val: 𝑎= 4𝜋2𝑟 𝑀 𝑇2 que reordenem per obtenir la tercera llei de Kepler: Per tant: 𝐺 𝑟2 = 𝑟3 4𝜋2 ⇒𝑇2 ∝𝑟3 𝐺𝑀 𝑇2 = 0,2 p b) Aïllem M: 4𝜋2𝑟3 4𝜋2(1,496×1011) 6,67×10−11×(3,154×107)2 = 1,99 × 1030 kg 0,6 p 𝑀= 0,4 p 𝐺𝑇2 =